8.9.5 均方根值

在某些情况下，计算函数的平均值并不有用，例如交流电的平均值为零，但这并不意味着它不危险！为了处理这类情况，我们使用函数的均方根（r.m.s.） $f(x)$ 。字面意思就是 $[f(x)]^2$ 的平均值的平方根。因此我们可以写成

$$[r.m.s.(f(x))]^2 = \frac{1}{b-a} \int_a^b [f(x)]^2 dx \quad (8.44)$$

尽管均方根值最明显的应用是在电气工程中，它们也出现在统计学在工程中的应用中（作为连续分布随机变量的标准差）。它们还出现在陀螺仪的设计和力学中，其中“回转半径”实际上就是关于某轴的矩的均方根。

8.9.6 弧长与表面积

在许多实际问题中，我们需要计算曲线的长度或曲线旋转所生成的表面积。对于公式为 $s$ 的曲线，在对应于 $y = f(x)$ 和 $x = a$ 的两点之间的长度 $x = b$ 是利用积分的基本思想求得的。设 $\Delta s_k$ 为之间的弧长元素 $x = x_k$ 和 $x = x_{k+1}$ 。于是对于一条向上凹的曲线，如图 8.66 所示，我们推得

$$\Delta x_k \sec \theta_k \leq \Delta s_k \leq \Delta x_k \sec \theta_{k+1}$$

其中 $\theta_k$ 和 $\theta_{k+1}$ 是曲线在 $P_k$ 和 $P_{k+1}$ 处切线所成的斜角。因此长度 $s$ 在 $x = a$ 和 $x = b$ 之间的曲线满足不等式

$$\sum_{k=0}^{n-1} \Delta x_k \sec \theta_k \leq s = \sum_{k=0}^{n-1} \Delta s_k \leq \sum_{k=0}^{n-1} \Delta x_k \sec \theta_{k+1}$$

图 8.65
函数的均值
$y = f(x)$ , $x \in [a, b]$ .