利用 (8.45)，缆索的长度 $s$ 为

$$s = \int_0^{2l} \sqrt{\left[1 + \frac{4h^2}{l^2} \left(\frac{x}{l} - 1\right)^2\right]} dx$$

通过令

$$t = \frac{2h}{l} \left(\frac{x}{l} - 1\right)$$

可简化此积分

$$s = \frac{l^2}{2h} \int_{-2h/l}^{2h/l} \sqrt{(1+t^2)} dt = \frac{l^2}{h} \int_0^{2h/l} \sqrt{(1+t^2)} dt \quad (\text{from symmetry})$$

于是 $t = \sinh u$ 再通过令

$$\begin{aligned} s &= \frac{l^2}{h} \int_0^{\sinh^{-1}(2h/l)} \cosh^2 u du = \frac{l^2}{2h} \int_0^{\sinh^{-1}(2h/l)} (\cosh 2u + 1) du \ &= \frac{l^2}{2h} \left[ \frac{1}{2} \sinh 2u + u \right]_0^{\sinh^{-1}(2h/l)} = \frac{l^2}{2h} \left[ \sinh u \cosh u + u \right]_0^{\sinh^{-1}(2h/l)} \ &= \frac{l^2}{2h} \left[ \frac{2h}{l} \sqrt{\left(1 + \frac{4h^2}{l^2}\right)} + \sinh^{-1}\left(\frac{2h}{l}\right) \right] \end{aligned}$$

可进一步简化，得到

$$s = \sqrt{(l^2 + 4h^2)} + \frac{l^2}{2h} \sinh^{-1}\left(\frac{2h}{l}\right)$$

即

例 8.70

求一根无载荷的重缆索在重力作用下悬挂于两个等高点时所得曲线的方程。 $T$ 解

考虑图 8.71 所示的缆索。设 P 为一水平距离为 $x$ 距对称轴，如图所示，并设曲线在 P 处的切线与水平方向成角 $\theta$ 。若 $s$ 为 A 与 P 之间曲线的长度， $T_0$ 为 A 处的张力，则将作用在 A 与 P 之间这段缆绳上的力沿水平和竖直方向分解，可得

$$T_0 = T \cos \theta \quad \text{and} \quad s\rho g = T \sin \theta$$

其中 $\rho$ 为缆绳的线密度， $g$ 为重力加速度。将这两个方程相除，我们得到

$$\tan \theta = \frac{s}{c}$$