这被称为曲线的内在方程，其中 $c = T_0/\rho g$ 。用 $x$ 和 $y$ 来表示，利用 (8.45)，该方程意味着 P 的坐标满足

$$y'(x) = \frac{1}{c} \int_0^x \sqrt{[1 + (y'(t))^2]} dt$$

为了求解此方程以得到曲线的方程，我们首先对 $x$ 求导，得到

$$y''(x) = \frac{1}{c} \sqrt{[1 + (y'(x))^2]}$$

其中 $dy/dx = 0$ 在 $x = 0$ 处。这可以改写为

$$\frac{d^2y/dx^2}{\sqrt{[1 + (dy/dx)^2]}} = \frac{1}{c}$$

并对 $x$ , 使用代入 $dy/dx = \sinh u$ ，并记住 $(d/dx)(dy/dx) = d^2y/dx^2$ ，得到

$$\sinh^{-1}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{x}{c} + A_1$$

由于 $\text{dy/d}x = 0$ 在 $x = 0$ ，我们推出 $A_1 = 0$ 和

$$\frac{dy}{dx} = \sinh \frac{x}{c}$$

这很容易积分，得到

$$y = c \cosh \frac{x}{c} + B$$

的值 $B$ 由 的值确定 $y$ 处 $x = 0$ 。这个值可以相当随意地选取，而不会改变曲线的形状。选取 $y(0) = c$ 会得到一个简洁的答案（其中 $B = 0$ ):

$$y = c \cosh \frac{x}{c}$$

注意，这条曲线称为悬链线，它与悬索桥缆索的形状不同，后者是抛物线。悬链线有许多应用，包括屋顶和拱门的设计。

图 8.71
悬挂的重缆索。