8.9.7 转动惯量

我们在 7.9.3 节中已经看到，转动惯量出现在涉及梁的结构设计中。它们也出现在机械旋转部件的力学以及船舶设计中。物体绕某一轴的转动惯量的正式定义是它关于该轴的质量二阶矩。要考虑的最简单情形是边长为 $a$ 和 $b$ 的平面矩形区域，单位面积质量为 $\rho$ ，如图 8.72(a) 所示。

微元条 PQ 的质量为 $\rho b \Delta x$ ，它关于 OY 的质量二阶矩为 $x^2 \rho b \Delta x$ 。矩形关于 OY 的转动惯量 $I_{\text{OY}}$ 是所有这类二阶矩之和。因此

$$\begin{aligned} I_{\text{OY}} &= \int_0^a x^2 \rho b , dx = \left[ \frac{1}{3} x^2 b \rho \right]_0^a \ &= \frac{1}{3} \rho a^3 b = \frac{1}{3} m a^2 \end{aligned}$$

其中 $m = \rho ab$ 是矩形的质量。

图 8.72 (a) 平面矩形区域。(b) 圆盘绕直径。(c) 圆盘绕垂直轴。

例 8.71 求半径为的圆盘的转动惯量 $a$ 关于

• (a) 一条直径；
• (b) 一条通过其中心并垂直于它的轴。

假设单位面积的质量均匀分布为 $\rho$ 。

解答 (a) 位于 P 处的微元条关于 OY 的二阶矩（见图 8.72(b)）为 $2x^2\rho y \Delta x$ 。因此圆盘的转动惯量为

卷曲静电场每单位长度的二阶矩为 $$\Delta x$$ 。因此非弹性矩为