代入 $x = a \sin \theta$ 得

$$\begin{aligned} I_{OY} &= 4\rho \int_0^{\pi/2} a^4 \sin^2\theta \cos^2\theta , d\theta \ &= \rho a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^2 2\theta , d\theta \ &= \frac{1}{2} \rho a^4 \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 4\theta) , d\theta \ &= \frac{1}{2} \rho a^4 \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin 4\theta \right]_0^{\pi/2} \ &= \frac{1}{4} (\rho \pi a^2) a^2 = \frac{1}{4} m a^2 \end{aligned}$$

其中 $m$ 为圆盘的质量。

(b) 位于 P 处的微元环的二阶矩（见图 8.72(c)）为 $r^2(\rho 2\pi r)\Delta r$ 。因此圆盘对通过其中心且垂直于盘面的轴的转动惯量为

$$\begin{aligned} I_{\text{Oz}} &= \int_0^a r^2 \rho 2\pi r dr = \frac{1}{2} \rho \pi [r^4]_0^a \ &= \frac{1}{2} (\rho \pi a^2) a^2 = \frac{1}{2} m a^2 \end{aligned}$$

本例说明了计算转动惯量的两种方法。

8.9.8 练习题

只要可能，请使用 MATLAB 检验你的答案。

• 127 求由曲线 $xy = x^3 + 3$ 、 $x$ 轴以及纵坐标在 $x = 1$ 和 $x = 2$ 绕 $x$ 轴旋转一整周。

  128 将曲线的弧长表示为积分，曲线为 $y = \sin x$ 从 $x = 0$ 到 $x = \pi$ 。同时求由 $x$ 轴与该弧所围成的区域绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度所生成立体的体积。

  129 (a) 画出方程为的曲线草图

  $$y = (x - 2)(x - 1)$$ 证明：当曲线与该轴之间的有限面积绕该轴旋转 $x$ 弧度时，所生成的体积为 $2\pi$ 证明：曲线 $x$ 介于原点与纵坐标 $\pi/30$ .

• 之间的部分绕该轴旋转所生成的曲面面积为 $x$ 。

  130 一条曲线由参数方程表示为 $y^2 = 4ax$ 求该曲线绕该轴旋转所生成的旋转体的体积和表面积。该轴为 $x = 3a$ 轴。 $\frac{56}{3}\pi a^2$ 轴。

  $$x(t) = 3t - t^3, \quad y(t) = 3t^2 \quad (0 \leq t \leq 1)$$ 轴。 $x$ 穿过坐标轴的 $2\pi$ 弧度。

  131 电阻 $R$ （单位： $\Omega$ ）随温度 $\theta$ （单位： $^\circ\text{C}$ ）变化的变阻器由 $R = 38(1 + 0.004\theta)$ 给出。求当温度从 $10^\circ\text{C}$ 均匀变化到 $40^\circ\text{C}$ .