• 134 火箭在发射后某时刻的速度由下式给出 $V$ 其中 $t$ 和

  $$V = at^2 + b$$ 为常数。火箭在第一秒内的平均速度为 $a$ ，在接下来一秒内的平均速度为 $b$ 。求 $10 \text{ m s}^{-1}$ 和 $50 \text{ m s}^{-1}$ 的值 $a$ 之间所围成的面积

• 132 $x$ 轴，曲线 $y\; =\; x(2\; -\; x)$ 以及纵坐标 $x\; =\; 1$ 和 $x\; =\; 2$ 旋转经过 $2\backslash pi$ 弧度，绕 $x$ 轴。计算 (a) 旋转面的面积及其形心的坐标； (b) 所形成的旋转体的体积及其重心的坐标。	134 速度 $V$ 一枚火箭在 $t$ 发射后由下式给出 $V = at^2 + b$ 其中 $a$ 和 $b$ 为常数。第一秒内的平均速度为 $10\; \backslash text\{\; m\; s\}^\{-1\}$，而下一秒内的平均速度为 $50\; \backslash text\{\; m\; s\}^\{-1\}$。求 $a$ 和 $b$. 第三秒内的平均速度是多少？
  133 证明在 $x$ 轴、曲线 $4y\; =\; x^2\; -\; 2\backslash ln\; x$ 与坐标轴 $x\; =\; 1$ 以及 $x\; =\; 3$ 之间所围成的面积为 $\backslash frac\{1\}\{6\}(19\; -\; 9\backslash ln\; 3)$.	135 求由 $y^2\; =\; 4x$ 和所围成区域的形心 $y\; =\; 2x$ 以及该区域绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的形心。
  136 证明边长为 $2a$ 的等边三角形薄板绕其一条高线的转动惯量为 $ma^2/6$，其中 $m$ 为薄板的质量。

• (b) b) 所形成的旋转体的体积及其重心的坐标。

  133 证明在 $x$ 轴、曲线 $4y = x^2 - 2\ln x$ 与坐标之间所围成的面积 $x = 1$ 和 $x = 3$ 是 $\frac{1}{6}(19 - 9\ln 3)$ .

8.10 积分的数值计算

在许多实际问题中，需要积分的函数往往由图像或数值表给出。即使函数是以解析形式给出的，也常常无法积分得到用简单函数表示的结果。此外，在许多工程和科学问题中，往往事先已知积分值只需达到一定的精度，使用近似方法可以避免大量不必要的计算。在所有这些情况下，我们必须对积分进行数值计算。这样做的方法有很多，从计算图像下方面积的最简单的数方格法，到复杂的计算机程序。在本节中，我们将推导一种简单的数值方法，称为梯形法则，它是许多计算机算法的基础，还有一种手工计算方法，称为辛普森法则。

8.10.1 梯形法则

最简单的方法回到前面介绍的关于积分的初始思想（见第 8.7.1 节）。如图 8.73 所示，这些方法将待求的面积分割成若干等宽的窄条，并以某种方式近似每个窄条的面积；这些近似值之和便给出最终的数值结果。

积分区间的分点 $[a, b]$ 被标记为 $x_0, x_1, \dots, x_n$ ，其中 $x_0 = a$ , $x_n = b$ , $x_r = x_0 + rh$ ( $r = 0, 1, 2, \dots, n$ ），每个窄条的宽度为 $h = (b - a)/n$ 。被积函数 $f(x)$ 在这些点上的值，照例记为 $f_r = f(x_r)$ 。数值积分的一种基本方法是用当上端被图像的弦代替时所形成的梯形的面积来近似每个窄条的面积，如图 8.74 所示。

根据积分的和法则

$$\int_a^b f(x) dx = \int_{x_0}^{x_1} f(x) dx + \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx + \dots + \int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) dx = \sum_{r=0}^{n-1} \int_{x_r}^{x_{r+1}} f(x) dx$$