首先，我们将引入记号 $T(h)$ 来表示使用宽度为 $h$ 的条带由梯形法则给出的积分值的近似。显然，若忽略舍入误差可能带来的影响，我们期望

$$\lim_{h \rightarrow 0} T(h) = \int_1^2 \frac{1}{x} dx$$

取 $n = 1$ 得到 $h = (2 - 1)/n = 1$ , $x_0 = 1$ 以及 $x_1 = 2$ 。由此得到估计

$$\int_1^2 \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}(1)(f_0 + f_1) = T(1)$$

这里 $f_0 = 1$ 且 $f_1 = 0.5$ ，因此 $T(1) = 0.75$ . 该积分值的估计存在误差 $0.75 - 0.693 = +0.057$ 。

取 $n = 2$ 得到 $h = 0.5$ , $x_0 = 1$ , $x_2 = 2$ 和 $x_1 = 1.5$ 。注意 $x_0$ 和 $x_2$ 是之前使用的两个点，只是现在重新标记了。由此得到估计

$$T(0.5) = (0.5)[f_1 + \frac{1}{2}(f_0 + f_2)]$$

其中 $f_0 = 1$ , $f_1 = 0.666667$ 和 $f_2 = 0.5$ ，因此 $T(0.5) = 0.708333$ . 该估计的误差为 $+0.015$ ，因此通过将条带数量加倍，我们将误差减少了近 4 倍。

取 $n = 4$ 得到 $h = 0.25$ , $x_0 = 1$ , $x_4 = 2$ , $x_1 = 1.25$ , $x_2 = 1.5$ 和 $x_3 = 1.75$ 。注意，这些点中有三个在之前的计算中已经使用过。这个 $n$ 值给出估计

$$T(0.25) = (0.25)[f_1 + f_2 + f_3 + \frac{1}{2}(f_0 + f_4)]$$

其中 $f_0 = 1$ , $f_1 = 0.8$ , $f_2 = 0.666667$ , $f_3 = 0.571429$ 和 $f_4 = 0.5$ ，因此 $T(0.25) = 0.697024$ 。该估计的误差为 $+0.004$ ,因此，通过将条带数量加倍，我们再次将误差缩小为原来的 1/4。

继续这一过程，取 $n = 8$ ，我们得到估计值 $T(0.125) = 0.694,122$ ，误差为 $+0.001$ 。

基于这四次计算，我们可以估计出 $n$ 和 $h$ 的值，使答案精确到 5 位小数；也就是说，绝对误差小于 0.000005。如果我们继续将条带数量加倍的过程，每次将误差缩小为原来的 1/4，那么当 $n = 128$ 时，我们将得到具有所需精度的答案。对于如此多的条带，我们显然需要组织好计算，使其尽可能经济。回顾之前的计算，我们看到每当 $n$ 取新值时，被积函数需要求值的点数几乎翻倍，但从图 8.75 可以看出，其中一半的点在之前的计算中已经求过值。

考虑到区间减半对 $h$ 的影响，我们可以利用为 $T(h)$ 得到的结果，减少计算 $T(2h)$ :

$$T(h) = h[f_1 + f_2 + f_3 + \dots + f_{n-1} + \frac{1}{2}(f_0 + f_n)], \quad h = \frac{b-a}{n}$$

$$T(2h) = (2h)[f_2 + f_4 + \dots + f_{n-2} + \frac{1}{2}(f_0 + f_n)]$$