这里 $f_0, f_2, f_4, \dots, f_n$ 都已在之前对 $T(2h)$ 的求值中计算过了。重新整理，我们得到

$$T(h) = h(f_1 + f_3 + f_5 + \dots + f_{n-1}) + \frac{1}{2}(2h)[f_2 + f_4 + \dots + f_{n-2} + \frac{1}{2}(f_0 + f_n)]$$

因此

$$T(h) = h(f_1 + f_3 + f_5 + \dots + f_{n-1}) + \frac{1}{2}T(2h) \quad (8.48)$$

（记住，如果 $h$ 是 $n$ 个区间的条带宽度，那么 $2h$ 就是 $\frac{1}{2} n$ 个区间的条带宽度）。

这个公式使我们能够经济地进行计算，但我们还可以以更巧妙的方式利用它。

我们已经看到，将条带宽度减半会使误差大约缩小为原来的 1/4。这意味着误差与 $h^2$ 成正比。事实上，这种行为是应用梯形法则求值多种积分时的典型特征，我们可以利用它来获得积分值的更精确估计。由于误差与 $h^2$ , 我们可以写出

$$T(h) - \int_1^2 \frac{1}{x} dx = Ah^2$$

其中 $h = 1/n$ 且 $A$ 是某个数，一般而言它将依赖于 $n$ 但当 $n$ 变大时仍保持有界。对于 $T(2h)$ :

$$T(2h) - \int_1^2 \frac{1}{x} dx = 4A'h^2$$

也有类似的公式，其中 $h$ 与之前取相同的值，且 $A' \approx A$ 。这两个公式使我们能够估计积分近似中的误差。将它们相减得到

$$3Ah^2 \approx T(2h) - T(h)$$

因此该近似 $T(h)$ 对积分的误差估计为 $\frac{1}{3}[T(2h) - T(h)]$ 。因此在上述计算中， $T(0.125)$ 的估计误差为

$$\frac{1}{3} (0.697024 - 0.694122) = +0.000967$$

图 8.75
被积函数 求值所在的点。