正如我们之前所发现的。这意味着在通常不知道积分真值的情况下（不同于本例），我们可以按常规方式估计误差。这也使我们能够获得更好的近似值。从 $T(h)$ 中减去估计的误差，得到改进的近似值（理查森外推法）

$$\int_1^2 \frac{1}{x} dx \approx T(h) - \frac{1}{3}[T(2h) - T(h)]$$

或者，我们也可以写成

$$\int_1^2 \frac{1}{x} dx \approx \frac{1}{3} [4T(h) - T(2h)]$$

使用上面得到的 $T(0.25)$ 和 $T(0.125)$ 的值，我们有

$$\int_1^2 \frac{1}{x} dx \approx 0.694122 - 0.000967 = 0.69315$$

其结果精确到小数点后 5 位。当然，一般情况下，我们无法知道这个外推值的近似程度有多好，通常的做法是继续对区间减半，直到两个连续的外推值达到所需的精度一致为止。并非所有积分都会像本例中那样快速收敛。例如， $\int_0^1 \sqrt{x} dx$ 需要大量的求值才能达到合理的精度。从图 8.76 中可以很容易地看出，对 $\int_0^1 \sqrt{x} dx$ 的近似与对 $\int_1^2 (1/x) dx$ 的近似相比收敛缓慢的原因。

(8.47) 中给出的梯形法则在 MATLAB 中使用以下命令实现

a = 下限; b = 上限; n = 条带数; h = (b – a)/n; x = (a:h:b)'

图 8.76
(a) 的图像 $y = \sqrt{x}$ 。
(b) 的图像 $y = 1/x$ .