其中 $A(\vec{x})$ 由下式给出

$$A(\bar{x}) = \bar{A} \quad (x \leq \bar{x} \leq x + \Delta x)$$

令切片数量趋于无穷，同时使所有切片的厚度都趋于零，可得 $V$ 以积分形式表示：

$$V = \int_0^{2000} A(x) dx$$

这为我们提供了一个计算需移除土方量的数学模型：下一步是计算该积分。在本例中，被积函数仅通过数值表给出，因此我们别无选择，只能进行数值计算。

使用辛普森法则，取 10 个宽度为 200 m 的条带，计算如图 8.81 所示，我们得到估计值 $7.3 \times 10^4 \text{ m}^3$ 。如果需要更精确的估计，则必须收集更多数据。

8.10.3 习题

使用 MATLAB 验证你的断言。

图 8.81
辛普森法则
'纸笔'
计算。

137 用梯形法则求 $\int_0^{0.8} e^{-x^2} dx$ 的值。依次取步长 $h$ 为 0.8、0.4、0.2、0.1，并使用外推法提高答案的精度。

138 用梯形法则，结合区间对分和外推法，求

$$\int_0^1 \log(\cosh x) dx \quad \text{to } 4dp$$

139 一个椭圆的参数方程为 $x = \cos t$ , $y = \frac{1}{2}\sqrt{3} \sin t$ 。证明其周长由下式给出

$$2 \int_0^{\pi/2} \sqrt{(3 + \sin^2 t)} dt$$ 该积分无法用

$$2 \int_0^{p/2} \sqrt{3 + \sin^2 t} , dt$$

此积分无法用初等函数表示。请使用区间对分的梯形法则将其计算到小数点后 6 位。

法则，求一电池的容量，其电流在 8 小时内测得，结果如下所示：

141 某车辆在时刻 $V(t)$ m s^-1 的速度 $t$ 由下表给出。请使用辛普森法则估算这 8 秒内行驶的距离。

142 请使用辛普森法则，取 $h = 0.1$ 进行估算

辛普森法则 $$\int_0^1 \sqrt{(1 + x^3)} dx$$