8.11 工程应用：棱柱形渠道的设计

平均流速 $V$ 在直线棱柱形渠道中的流动与 $(A/p)^r$ 成正比，其中 $A$ 为过水断面面积， $p$ 为湿周， $r$ 近似为一个常数（ $\frac{7}{12}$ ）。给定最小流量下的渠道断面（即 $A_0$ 和 $p_0$ ），目标是设计一个渠道，使得 $V$ 对于所有更大的流量都具有相同的值。

假设渠道横截面为对称形状，如图 8.82 所示，其中 $A_0$ 和 $p_0$ 是最小流量值 $A$ 和 $p$ 。设渠道的形状由 $x = f(y)$ 给出。（注意在此应用中 $y$ ，即表面相对于基准线的高度，是自变量。）然后我们要求函数 $f(y)$ 使得平均流速与 $y$ 无关。这意味着由于它与 $(A/p)^r$ 成正比，

图 8.82
渠道横截面。

$$\frac{A}{p} = \frac{A_0}{p_0}$$

面积 $A$ 由以下积分给出 $f(y)$ 。因此

$$A = A_0 + 2 \int_0^h x dy$$

其中 $x = f(y)$ 且 $h > 0$ 。

利用 (8.45)，湿周 $p$ 由下式给出

$$p = p_0 + 2 \int_0^h \sqrt{\left[1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2\right]} dy \quad (h > 0)$$

由于 $A/A_0 = p/p_0$ ，我们推出

$$1 + \frac{2}{A_0} \int_0^h x dy = 1 + \frac{2}{p_0} \int_0^h \sqrt{\left[1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2\right]} dy$$

将各积分合并到同一个积分号下可得

$$\int_0^h \left{ \frac{x}{A_0} - \frac{1}{p_0} \sqrt{\left[1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2\right]} \right} dy = 0 \quad (h > 0)$$