由于这对所有 $h > 0$ 都成立，因此被积函数必须恒等于零。于是 $x = f(y)$ 满足微分方程

$$\frac{x}{A_0} = \frac{1}{p_0} \sqrt{\left[1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2\right]}$$

假设 $\frac{dx}{dy} \geq 0$ 成立，则意味着

$$\frac{dx}{dy} = \sqrt{\left[\left(\frac{p_0 x}{A_0}\right)^2 - 1\right]} \quad (8.50)$$

对 $y$ 积分后得到

$$\int \frac{dx}{\sqrt{[(p_0 x/A_0)^2 - 1]}} = \int 1 dy$$

在左边使用代换 $\cosh u = (p_0 x/A_0)$ 得到

$$\frac{A_0}{p_0} \cosh^{-1}\left(\frac{p_0 x}{A_0}\right) = y + c$$

如果通道宽度为 $2b$ 其中 $y = 0$ ，我们可以求得积分常数的值 $c$ 为

$$c = \frac{A_0}{p_0} \cosh^{-1}\left(\frac{p_0 b}{A_0}\right)$$

并推导出合适渠道形状的公式为

$$y = \frac{A_0}{p_0} \left[ \cosh^{-1}\left(\frac{p_0 x}{A_0}\right) - \cosh^{-1}\left(\frac{p_0 b}{A_0}\right) \right]$$

然而，该解并非唯一解，我们注意到微分方程 (8.50) 也满足

$$x = \frac{A_0}{p_0}$$

作为练习，请利用这一信息证明通解可以取图 8.83(a) 和 (b) 所示的任一横截面的形式。注意图 8.83(b) 中的线形不具有 $\frac{dx}{dy} \geq 0$ 。

图 8.83