8.12 工程应用：周期函数的谐波分析

周期函数在实际问题和潮汐系统等自然现象中经常出现。机械的旋转部件会产生振动，当发生共振时这些振动可能变得危险。事实上，这样的共振曾导致塔科马海峡大桥的坍塌（见第 10.10.3 节）。周期运动通常同时包含多个频率的振动，求出每个频率对应振幅的方法称为谐波分析（另见第 12 章）。

例如，考虑例 2.44 中讨论的曲柄连杆机构。滑块的位移函数为

$$y = r \cos x + \sqrt{(l^2 - r^2 \sin^2 x)}$$

其中 $r$ 是曲柄的半径， $l$ 是连杆的长度， $x$ （弧度）是转过的角度。该运动是周期性的，但不是简单的正弦函数。它包含许多谐波，我们可以写成

$$y = a_0 + a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + a_3 \cos 3x + \dots$$

其中 $a$ 是常数，由于 $y$ 是偶函数，我们选取余弦级数 $y(-x) = y(x)$ 。为简化问题，我们取一个特殊情况，设 $r = 1$ 和 $l = 3$ . 那么

$$y = \cos x + \sqrt{8 + \cos^2 x}$$ 的图像 $y$ 如图 8.84 所示。

$$y = \cos x + \sqrt{8 + \cos^2 x}$$

的图像 $y$ 如图 8.84 所示。

位移 $y$ 的周期为 $2\pi$ 其平均值 $\bar{y}$ 由下式给出：

$$\bar{y} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} [\cos x + \sqrt{(8 + \cos^2 x)}] dx$$

在一个完整周期内 $\cos x$ 对积分值的贡献为零，因此可简化为

$$\bar{y} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sqrt{(8 + \cos^2 x)} , dx$$

图 8.84 图像 $y = \cos x + \sqrt{(8 + \cos^2 x)}$ .