该积分无法解析求值。使用步长为 $\pi/2$ , $\pi/4$ 和 $\pi/8$ 的梯形法则，结合理查森外推，我们得到

$$\bar{y} = 2.9148$$

现在我们寻求一个形如 $y(x)$ 的近似，

$$y(x) \simeq \bar{y} + \cos x + a \cos 2x$$

使得平方误差在一个完整周期上的积分尽可能小。即， $a$ 的选取使得

$$\frac{d}{da} \left{ \int_{-\pi}^{\pi} [\bar{y} + \cos x + a \cos 2x - y(x)]^2 dx \right} = 0$$

展开被积函数，得到

$$\begin{aligned} \frac{d}{da} \left{ \int_{-\pi}^{\pi} [\bar{y}^2 + a^2 \cos^2 2x + 8 + \cos^2 x + 2\bar{y}a \cos 2x \right. \ \left. - 2\bar{y}\sqrt{(8 + \cos^2 x)} - 2a \cos 2x \sqrt{(8 + \cos^2 x)}] dx \right} = 0 \end{aligned}$$

整理后得

$$\begin{aligned} \frac{d}{da} \left{ \int_{-\pi}^{\pi} [\bar{y}^2 + 8 + \cos^2 x - 2\bar{y}\sqrt{(8 + \cos^2 x)}] dx + 2a\bar{y} \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x dx \right. \ \left. - 2a \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x \sqrt{(8 + \cos^2 x)} dx + a^2 \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 2x dx \right} = 0 \end{aligned}$$

大括号内的第一个积分与 $a$ , 因此求导后为零。第二个积分值为零，最后一个积分的值为 $\pi$ 。因此对 $a$ 求导得到

$$-2 \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x \sqrt{(8 + \cos^2 x)} dx + 2a\pi = 0$$

于是

$$a = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x \sqrt{(8 + \cos^2 x)} dx$$

对该积分进行数值计算得到 $a = 0.0858$ 。考察近似值与 $y$ 在一个完整周期内的差异可知，最大误差的大小小于 0.0007。