8.13 复习题（1–39）

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

1 对下列表达式求导，并尽可能给出最简形式的答案：

(a) $e^{x^2+x}$

(b) $\frac{x^3}{(3-x)^2}$

(c) $\sin(5x - 1)$

(d) $(\tan x)^x$

(e) $\cos^{-1}\sqrt{(1-x^2)}$

(f) $\frac{1}{\sqrt{x+1}}$

(g) $\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}}$

(h) $\frac{1}{(x-1)(x+2)}$

(i) $\sin(3x + 1)$

(j) $x^3 \ln x$

(k) $\frac{x^3}{(3-x^2)}$

(l) $\tan^{-1}(e^{-2x})$

(m) $\sqrt{(1 + \cosh x)}$

(n) $(x^2 + 1) \sin 2x$

(o) $\frac{x-1}{(x+2)^2}$

(p) $e^{\sqrt{x}}$

(q) $\ln \tan x$

(r) $\frac{(2x-1)^{3/2}}{(x+1)^5}$

(s) $x \sin x$

(t) $e^{x^2}$

(u) $2^x$

(v) $\frac{\cos x}{1 + \sin x}$

(w) $\sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$

(x) $x^3 \cos 2x$

(y) $\sqrt{x^3 + x + 3}$

(z) $\frac{e^{-x}}{1+x}$

2 计算(a) $\int x^{1/2} \ln x , dx$

(b) $\int \frac{(2x+3) , dx}{x^2 + 2x + 2}$

(c) $\int_0^3 \frac{1}{x} [x] , dx$

(d) $\int_{1/2}^1 \frac{x \sin^{-1} x , dx}{\sqrt{(1-x^2)}}$
（设 $x = \sin t$ )

(e) $\int \frac{x , dx}{(x-1)(x-2)}$

(f) $\int \tan^4 x , dx$

(g) $\int_0^1 \sqrt{4-3x^2} , dx$

(h) $\int \frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}}$

(i) $\int \frac{x^2 , dx}{\sqrt{x^3-1}}$

(j) $\int \frac{(x^2+1) , dx}{x+1}$

(k) $\int \frac{dx}{x^2 + 6x + 13}$

(l) $\int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} , dx$

(m) $\int_0^2 \text{FRACPT}(x) , dx$

(n) $\int_0^1 \sinh^2 x , dx$

(o) $\int (1-3x)^9 , dx$

(p) $\int \sin 3x \sin 2x , dx$

(q) $\int \ln 2x , dx$

(r) $\int xe^{-x^2/2} , dx$

(s) $\int \frac{dx}{\sqrt{(4x^2-9)}}$

(t) $\int_{-1}^4 \frac{(3x-1) , dx}{\sqrt{(4+3x-x^2)}}$

(u) $\int_0^1 \frac{x , dx}{(x+1)(x^2+1)}$

(v) $\int (4-3x)^4 , dx$

(w) $\int \cos 2x \cos 3x , dx$

(x) $\int \sin^{-1} x , dx$

(y) $\int x^2 e^{-x} , dx$

(z) $\int \frac{dx}{1+x+x^2}$

3求方程为下列式子的曲线在点 (1, 4) 处的切线和法线的方程

$$y = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 + 3x - 3$$

4求曲线的切线方程 $x^2 - 3xy + 2y^2 = 3$ 在点 (1, 2) 处，以及曲线的法线方程 $y = x^3 - x^2$ 在点 (1, 0) 处。求这两条直线的交点到点 (-1, 2) 的距离。

5 参考例 2.10，验证函数

$$E(x) = x^2(1-x), \quad 0 \leq x \leq 1$$

在 $x = 2/3$ 时取得最大值。

6求曲线上的驻点

$$y = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1$$