7 发动机曲轴上的转动力矩 T 由下式给出

$$T = 6 + 2.5 \sin 2\theta - 3.8 \cos 2\theta$$

求 $T$ 在 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 时的最大值和最小值。

8 长度为 L 的梁的挠度由下式给出

$$y = wx^2 \frac{(L - x)^2}{EI} \quad (0 \leq x \leq L)$$

其中 w、E 和 I 为常数。试确定

• (a) 最大挠度；
• (b) 梁上拐点所在的位置。

9 一条跑道呈矩形形状，长为 L，宽为 W，矩形两端各连接一个半径为 ^{1 2} W 的半圆形区域。如果整个跑道的周长固定为 400 m，试确定使矩形面积最大的 L 和 W 的值。

10 求 y 的最大值和最小值，其中

$$y = \frac{x^2}{(x - 2)(x - 6)}$$

并说明理由。画出该曲线的草图，标明驻点和所有渐近线。

11 光源被放置在相距 1 米的两个固定点 Q 和 R 处。R 处光源的强度是 Q 处的两倍。在直线 QR 上距 Q 为 x 米的点 P 处的总照度为 cf(x)，其中 c 为正常数，且

$$f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{(1-x)^2} \quad 0 < x < 1$$

计算 f(0.3)、f(0.4) 和 f(0.5)，并求二次函数

$$g(x) = A(x - 0.4)^2 + B(x - 0.4) + C$$

该曲线经过 (0.3, f(0.3))、(0.4, f(0.4)) 和 (0.5, f(0.5))。利用此函数估计 f(x) 取最小值时 x 的值，并将你的结果与用微积分方法所得的结果进行比较。

12 利用部分分式，证明

$$(a) \int_2^4 \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)} dx = \frac{3}{2} \ln 3 - \frac{4}{3} \ln 2$$

$$(b) \int_1^2 \frac{6x^2 dx}{(x+1)^2(2x-1)} = 3 \ln 3 - \frac{8}{3} \ln 2 - \frac{1}{3}$$

13 保留 5 位小数，计算 $\int_0^1(1 + x^2)^{-1}dx$ 使用梯形法则和五个纵坐标进行计算。通过直接积分求出该积分的值，并评价该数值方法的精度。

14 某曲线的参数方程为

$$x = at^2, \quad y = 2at$$

若 $\rho$ 为曲率半径， $(h, k)$ 为其曲率中心，证明

$$(a) \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2at^3} \quad (b) \rho = 2a(1 + t^2)^{3/2}$$

(c) $$h = a(2 + 3t^2)$$ , $k = -2at^3$

15 (a) 利用代换 $u = x + 1$ ，计算

$$= a(2 + 3t^2), \quad J = \int_3^8 x\sqrt{x + 1} , dx$$

• (a) 利用代换 $u = x + 1$ ，计算 $\int_3^8 x\sqrt{(x + 1)} dx$

  （b）使用代换 $u = \sqrt{x} + 6$ ，求 $\int_1^3 dx$

$$\int_0^1 \frac{dx}{2(x + 6\sqrt{x})}$$

• （c）区域 $R$ 由 $x$ 轴、直线 $x = \frac{9}{2}$ 以及参数方程为

$$x = a \cos t, \quad y = b \sin t \quad (0 \leq t \leq \frac{1}{3}\pi)$$

的曲线所围成，其中 a 和 b 为正的坐标。设 A、x¯ 和 Iy 分别表示 R 的面积、R 的形心的 x 坐标以及 R 关于 y 轴的二阶面积矩。证明

$$I_y = \frac{1}{4} a^2 A + \frac{3}{8} a \bar{x} A$$

16 一条曲线的参数方程为

$$x = 2t + \sin 2t, \quad y = \cos 2t$$

证明

$$\frac{dy}{dx} = -\tan t$$