求 $d^2y/dx^2$ 和 $d^2x/dy^2$ 用 $t$ 表示，并证明

$$\frac{d^2y}{dx^2} \neq 1 / \frac{d^2x}{dy^2}$$

17 验证点 $(-1, 1)$ 位于曲线

$$y(y - 3x) = y^3 - 3x^3$$

上，并求出 $\text{dy/d}x$ 和 $\text{d}^2\text{y/d}x^2$ 在该点的值。该点处的曲率半径是多少？

18 画出方程为

$$y^2 = x(x - 1)^2$$

的曲线，并求出环线所围成的面积。

19 画出参数方程为

$$x = a \sin^3 t, \quad y = b \cos^3 t \quad (0 \leq t \leq 2\pi)$$

求所围成的面积。

20 画出极坐标方程为的曲线的草图

$$r = 1 + \cos \theta$$

证明曲线在点处的切线 $r = \frac{3}{2}$ , $\theta = \frac{1}{3}\pi$ 平行于直线 $\theta = 0$ 。求该曲线所围成的总面积。

21 一条曲线以极坐标形式给出 $(r, \theta)$ 形式为 $r = f(\theta)$ 。证明由直线 $\theta = \alpha$ , $\theta = \beta$ 与曲线 $r = f(\theta)$ ( $\alpha \leq \theta \leq \beta$ ) 所围成的扇形面积为

$$\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2 d\theta$$

并证明曲线在任意点 P 处的切线与极径 OP 之间的夹角 $\phi$ 由下式给出

$$\cot \phi = \frac{1}{r} \frac{dr}{d\theta}$$

22 求抛物线的弧长，该弧位于 $y = x^2$ 之间 $(-1, 1)$ 和 $(1, 1)$ 。

23 参数方程

$$x = t^2 - 1, \quad y = t^3 - t$$

描述了一条闭曲线，当 $t$ 从 $-1$ 增加到 $1$ 时。试画出该曲线并求其所围成的面积。

24 (a) 求由 $x$ 轴和摆线的一拱所围成区域的面积

$$x = a(\theta - \sin \theta),$$

$$y = a(1 - \cos \theta) \quad (0 \leq \theta \leq 2\pi)$$

其中 $a$ 是一个正常数。

• (b) 证明 (a) 中定义的摆线在点 O 处的曲率半径为

$$\rho = 2\sqrt{2a(1 - \cos \theta)^{1/2}}$$

的最大值是多少？ $\rho$ ?

• (c) 讨论当 $\theta = 0$ 或 $\theta = 2\pi$ .

• 时曲率半径的性质。

(d) 求摆线一拱的长度。

25 考虑积分

$$I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n x , dx$$

其中 $n$ 是整数。利用三角恒等式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ ，证明

$$I_n + I_{n-2} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2} x \sec^2 x , dx$$

并由此得到递推关系

$$I_n = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}$$

使用此方法求

$$(a) \int_0^{\pi/4} \tan^6 x , dx \quad (b) \int_0^{\pi/4} \tan^7 x , dx$$

（这种类型的递推关系通常被称为约化公式，因为它们提供了一种系统的方法来减小参数 $n$ 的值，从而将一个困难的积分化为一个更容易的积分。）

• 26 使用分部积分法（将被积函数写成 $\sin \theta \sin^{n-1} \theta$ 的形式）证明

$$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n \theta , d\theta$$

满足约化公式

$$nI_n = (n - 1)I_{n-2}$$