由此证明

$$I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} \cdots \frac{2}{3}$$

以及

$$I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} \cdots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}$$

这些结果被称为 沃利斯公式。

利用它们证明

$$(a) \int_0^{\pi/2} \sin^5 x , dx = \frac{8}{15} \quad (b) \int_0^{\pi/2} \cos^6 x , dx = \frac{5}{32} \pi$$

27 考虑积分

$$I_{m,n} = \int_0^{\pi/2} \cos^m x \sin^n x , dx$$

证明 $I_{m,n}$ 满足递推公式

$$I_{m,n} = \frac{n-1}{m+n} I_{m,n-2}$$

28 第 24–26 题中讨论的那类递推公式是迭代公式——与其他迭代公式一样，使用时必须注意其数值特性。通过考虑积分来说明这一点

$$I_n = \int_0^1 x^n e^{x-1} dx$$

证明

$$I_n = 1 - nI_{n-1} \quad (n > 0)$$

其中 $I_0 = 1 - e^{-1}$ 。

其中 $I_0 = 1 - e^{-1}$ 。在计算器上求值，并使用递推公式计算 $I_0$ 。

由于 $I_n$ , $n = 1, 2, \dots, 10$ 我们知道

$$0 < x^{n+1}e^{x-1} < x^ne^{x-1} < x^n \quad (0 < x < 1)$$

将此与你的结果进行比较，并解释差异。

由于迭代在用于

$$0 < I_{n+1} < I_n < \frac{1}{n+1} \quad (n = 0, 1, 2, 3, \dots)$$

递增时发散（即依次取 $n$ ），

那么当用于 $n = 1, 2, 3, \dots$ 递减时（比如 $n$ ）它将收敛。由于 $n = 50, 49, 48, \dots$ ，尝试将该迭代用于 $0 < I_{19} < \frac{1}{20}$ $n = 19, 18, 17, \dots$ 以求得 $I_{10}$ 。继续向后迭代，最终可得 $I_0$ 。

29 函数 $F(r)$ 定义为

$$F(r) = \int_0^{\pi/2} \sin' x , dx \quad r > -1$$

通过考虑 $d(\cos x \sin^{r-1}x)/dx$ ，或用其他方法，证明

$$(r + 1) \int \sin^r x , dx = \cos x \sin^{r+1} x + (r + 2) \int \sin^{r+2} x , dx$$

，并由此推出 $(r + 1)F(r) = (r + 2)F(r + 2)$ 。

证明 $F(-\frac{1}{2}) = \frac{21}{5}F(\frac{7}{2})$ 。列表列出 $f(x) = \sin^{7/2}x$ 对于 $x = 0(\frac{1}{8}\pi)\frac{1}{2}\pi$ 保留三位小数，并用这些数值求得 $F(3.5)$ 的三个近似值，分别使用宽度为 $\frac{1}{2}\pi$ , $\frac{1}{4}\pi$ 和 $\frac{1}{8}\pi$ 的梯形法则。由此求出 $F(-0.5)$ 的一个近似值。

30 将 $y$ 轴、直线 $y = 1$ 与抛物线 $y = x^2$ 之间的区域绕 $y$ 轴旋转，生成一个旋转体。求它的体积和表面积。

31 本章为计算积分所建立的数值方法都使用了等宽的条带。另一种方法是规定所使用的表格点（列表点）的数目，但不规定它们的位置。对于给定数目的点，可以在积分区域内找到使积分计算最精确的表格点。考虑两点公式

$$\int_{-h}^h f(x) dx \approx h[af(\alpha h) + bf(\beta h)]$$

其中 $a, b, \alpha$ 和 $\beta$ 是待求的常数。关于 $x = 0$ 的对称性意味着 $\beta = -\alpha$ 。如果该公式对所有二次函数都精确成立，证明

$$2h = h(a + b)$$

$$0 = h(a\alpha h - b\alpha h)$$

$$\frac{2}{3}h^2 = h(a\alpha^2h^2 + b\alpha^2h^2)$$

$$\begin{aligned} 2h &= h(a + b) \ 0 &= h(aah - bah) \ \frac{2}{3}h^2 &= h(aa^2h^2 + ba^2h^2) \end{aligned}$$ 由此推出 $a = b = 1$ 和 $\alpha = 1/\sqrt{3}$ .