32 符号 Tn 和 Sn 分别定义为用 n 个区间、采用梯形法则和辛普森法则所得积分的估计值。计算 T1、T2、T4、S2 和 S4，只保留 3 位小数。验证你的数值结果满足

$$I = \int_0^1 (1 + 2x)^{-1} dx$$

对于

$$S_{2n} = \frac{1}{3}(4T_{2n} - T_n)$$

和 $n = 1$ 。证明这个结果。

33 (a) 一条曲线由参数方程表示为 $2$ 求该曲线绕 x 轴旋转 2 弧度所生成的旋转体的体积和表面积。

$$x(t) = 3t - t^3, \quad y(t) = 3t^2 \quad (0 \leq t \leq 1)$$

(b) 求由曲线

• 和 $y = 5 \sin 2x$ , $y = 0$ 所围成的平面图形的形心位置。

34 当横截面积恒为 A 的均匀直杆（见图 8.85）受到均匀分布的拉应力时，对于服从胡克定律的材料，沿应力方向的伸长量由下式给出

应力 = $x = \frac{1}{6}\pi$ 应变

其中 E 是杨氏模量，应力是单位面积上所施加的力，应变是伸长量与直杆未拉伸长度之比。即： $$E \times$$

$$E \frac{e}{L} = \frac{P}{A}$$

考虑一根圆截面杆，其直径沿长度变化，如图 8.86 所示，因此

$$A =A_0+kx^2, \quad k=\frac{A_1-A_0}{L^2}$$

通过考虑厚度为 $\Delta x$ 的杆微元的伸长，证明该杆在拉力 $P$ 作用下的总伸长量为

$$l = \int_0^L \frac{P , dx}{E(A_0 + kx^2)}$$

证明

$$l = \frac{4PL}{\pi d_0 d_2 E} \cos^{-1}\left(\frac{d_0}{d_1}\right)$$

其中 $d_0$ 和 $d_1$ 是杆两端的直径， $d_0 < d_1$ 和 $d_2^2 = d_1^2 - d_0^2$ 。

35 图 8.87 显示一口旧圆柱形钻孔，其一部分被淤泥填充，另一部分被水填充。在重新钻孔之前，必须将水抽到地面。我们希望估算此过程所需的功。

（a）作为一阶近似，假设淤积是均匀的——如图 8.87 所示——并且水因此形成一个正圆锥体

图 8.85

图 8.86

图 8.87