底面半径为 5 m、高为 50 m。因此，通过考虑图中所示的小体积水微元，证明将水提升到地面所需的功（单位为 J）的估计值为

$$W_1 = 10^3 \times \pi g \int_0^{50} \left( \frac{y}{10} \right)^2 (50 - y) dy$$

求值 $W_1$ 化为如下形式 $k_1\pi g$ ，并给出 $k_1$ 精确到 3 位有效数字。

• (b) 勘测表明，虽然水-淤泥边界仍可视为关于原钻孔轴具有圆柱对称性，但根据以下数据可以得到更精确的轮廓。

利用这些数据和辛普森法则，求出所需功的第二次近似值 $W_2$ 。请以如下形式给出答案 $k_2\pi g$ , 与 $k_2$ 给定到 3sf。

36 画出函数 $f(x)$ 的图像，该函数由下式定义

由下式定义的函数 $$f(x)$$ 的图像如图 5 所示。

对于区间 $-5 \leq x \leq 5$ 。

37 一个偶函数 $f(x)$ 以周期 $2\pi$ 运算，在区间 $[0, \pi]$ 上由公式给出

$$y = x/\pi$$

• (a) 利用函数的偶函数性质，画出函数在 $-\pi \leq x \leq \pi$ .

• 上的图像 (b) 利用函数的周期性性质，画出函数在 $-4\pi \leq x \leq 4\pi$ .

• （c）同时画出函数的图像 $g(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos x$ ，其中 $-4\pi \leq x \leq 4\pi$ 。

函数 $h(x) = \frac{1}{2} + a \cos x$ 被用作 $f(x)$ 的近似，方法是选取常数 $a$ 的值，使得 $[h(x) - f(x)]^2$ 上的总平方误差， $[0, \pi]$ ，为最小，也就是选取使 $a$ 最小化的

$$E(a) = \int_0^\pi [h(x) - f(x)]^2 dx$$

的值。证明

$$E(a) = \frac{\pi}{2} \left[ a^2 + \frac{8a}{\pi^2} + \frac{1}{6} \right]$$

以及那个 $E(a)$ 在以下情况时取得最小值 $a = -4/\pi^2$ 。画出近似值与原函数之差 $h(x) - f(x)$ 的图像，其中 $0 \leq x \leq \pi$ 。它的周期是多少？

38 一个框架帐篷有一个边长为 2 米的正方形和两个半圆形横杆 FBE 和 GBD，如图 8.88 所示。

• (a) 证明横截面 ABC 的方程为

$$2x^2 + z^2 = 2$$

• 图 8.88。

  (a) 证明横截面 ABC 的方程为

  $$2x^2 + z^2 = 2$$ (b) 证明帐篷的容积为 $8\sqrt{2}/3 \text{ m}^3$ .

图 8.88 第 38 题的框架帐篷。