(c) 同样，被积函数在下限处有一个无穷间断点 $x = 0$ ，因此我们考虑

$$\begin{aligned}\lim_{X \rightarrow 0^+} \int_X^1 \ln x , dx &= \lim_{X \rightarrow 0^+} [x \ln x - x]X^1 \quad (\text{integrating by parts}) \ &= \lim{X \rightarrow 0^+} (X - X \ln X - 1) \ &= -1 \quad (\text{since } X \ln X \rightarrow 0 \text{ as } X \rightarrow 0^+, \text{ Question 61, Section 7.8.3})\end{aligned}$$

由于极限存在，由 (9.1) 可得

$$\int_0^1 \ln x , dx = -1$$

(d) 在这种情况下，被积函数在下限处有一个无穷间断点 $x = 0$ ，我们考虑极限

$$\lim_{X \rightarrow 0^+} \int_X^1 \frac{dx}{x^2} = \lim_{X \rightarrow 0^+} \left[ \frac{-1}{x} \right]X^1 = \lim{X \rightarrow 0^+} \left( \frac{1}{X} - 1 \right)$$

当 $X \rightarrow 0$ 时该式变为无穷大，因此该积分没有意义。

如果被积函数 $f(x)$ 在 $x = c$ 处有一个无穷间断点，其中 $a < c < b$ ，那么我们定义

$$\int_a^b f(x) , dx = \lim_{X \rightarrow 0^+} \int_a^{c-X} f(x) , dx + \lim_{X \rightarrow 0^+} \int_{c+X}^b f(x) , dx \quad (9.3)$$

假设右边的两个极限都存在。否则 $\int_a^b f(x) , dx$ 无定义。

例 9.2

验证 $\int_{-1}^1 (1/x^2) , dx$ 无定义。

解

这是引言讨论中考虑的那个表观积分，我们看到，机械地沿用通常的积分技巧会得出一个荒谬的答案。在本例中，被积函数在 $x = 0$ 处有一个无穷间断，因此，按照 (9.3)，我们考虑两个极限

$$\lim_{X \rightarrow 0^+} \int_{-1}^{-X} \frac{dx}{x^2} \quad \text{and} \quad \lim_{X \rightarrow 0^+} \int_X^1 \frac{dx}{x^2}$$

由例 9.1(d) 的解可知，这两个极限都趋于无穷大，因此两个极限都不存在，积分 $\int_{-1}^1 (1/x^2) , dx$ 无定义。