MATLAB 可以计算这类积分。考虑例 9.1

(a) 命令

syms x y
y = x^(-2/3); int(y, 0, 1)

返回答案 3。

(b) 命令

syms x
int(log(x), 0, 1)

返回答案 -1。

作为练习，请思考 MATLAB 如何处理例 9.2。

对于被积函数具有无穷间断点的积分，其数值计算显然会引起数值问题。通常可以先通过变量代换改变被积函数来计算这类积分，如下例所示。

例 9.3

求积分的值

$$T(\alpha) = 2 \sqrt{\left(\frac{l}{g}\right)} \int_0^\alpha \frac{d\theta}{\sqrt{(\sin^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2})}}$$

其中 $\alpha = \pi/3$ 。这是单摆从角度 $\alpha$ .

处由静止释放的振荡周期。

解

该积分的被积函数在 $\theta = \alpha$ 处无界。此时我们可以通过变量代换来“消除”这一困难 $\sin \frac{\theta}{2} = \sin \frac{\alpha}{2} \sin \phi$ 。于是

$$\frac{1}{2} \cos \frac{\theta}{2} d\theta = \sin \frac{\alpha}{2} \cos \phi d\phi$$

且 $\theta = 0$ 对应于 $\phi = 0$ 和 $\theta = \alpha$ 对应于 $\phi = \pi/2$ 和

$$\begin{aligned} T(\alpha) &= 2 \sqrt{\left(\frac{l}{g}\right)} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin \frac{1}{2} \alpha \sqrt{(1 - \sin^2 \phi)}} \cdot \frac{2 \sin \frac{1}{2} \alpha \cos \phi}{\sqrt{(1 - \sin^2 \frac{1}{2} \alpha \sin^2 \phi)}} d\phi \ &= 4 \sqrt{\left(\frac{l}{g}\right)} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{(1 - \sin^2 \frac{1}{2} \alpha \sin^2 \phi)}} d\phi \end{aligned}$$