When $\alpha = \pi/3$ , 我们有

$$T\left(\frac{\pi}{3}\right) = 8 \sqrt{\left(\frac{l}{g}\right)} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{(4 - \sin^2 \phi)}} d\phi = 8 \sqrt{\left(\frac{l}{g}\right)} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{(3 + \cos^2 \phi)}} d\phi$$

这个积分无法解析求值. 应用梯形法则 (Section 8.10.1),

$$\text{with four intervals, gives } T\left(\frac{\pi}{3}\right) = 13.4864 \sqrt{\left(\frac{l}{g}\right)}$$

9.2.2 无穷积分

第二种情况, 其中积分区域是无限的, 以类似的方式处理. 我们定义

$$\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{X \rightarrow \infty} \int_a^X f(x) dx \quad (9.4)$$

如果该极限存在. Otherwise $\int_a^\infty f(x) dx$ 没有意义.

Example 9.4 求下列各题的值:

$$(a) \int_1^\infty x^{-3/2} dx \quad (b) \int_0^\infty \frac{dx}{1 + x^2} \quad (c) \int_0^\infty e^{-x} \sin x dx \quad (d) \int_{-\infty}^\infty e^{3x} \exp(-e^x) dx$$

Solution (a) $\int_1^\infty x^{-3/2} dx = \lim_{X \rightarrow \infty} \int_1^X x^{-3/2} dx = \lim_{X \rightarrow \infty} [-2x^{-1/2}]1^X = \lim{X \rightarrow \infty} (2 - 2X^{-1/2}) = 2$

$$(b) \int_0^\infty \frac{dx}{1 + x^2} = \lim_{X \rightarrow \infty} \int_0^X \frac{dx}{1 + x^2} = \lim_{X \rightarrow \infty} [\tan^{-1} x]0^X = \lim{X \rightarrow \infty} (\tan^{-1} X) = \frac{1}{2} \pi$$

$$(c) \int_0^\infty e^{-x} \sin x dx = \lim_{X \rightarrow \infty} \int_0^X e^{-x} \sin x dx$$

$$= \lim_{X \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2} e^{-X} (\cos X + \sin X)]_0^X \quad (\text{integration by parts})$$

$$= \lim_{X \rightarrow \infty} [\frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-X} (\cos X + \sin X)] = \frac{1}{2}$$

利用分部积分法求得该不定积分。, 如例中所示 8.51(c). 通过直接求导可以验证.

(d) 这里我们通过换元来简化积分 $t = e^x$ , 使得 $x \rightarrow -\infty$ gives $t = 0$ , $x \rightarrow \infty$ gives $t \rightarrow \infty$ and $dt = e^x dx$ . 积分变为

$$\int_{-\infty}^\infty e^{3x} \exp(-e^x) dx = \int_0^\infty t^2 e^{-t} dt = [-t^2 e^{-t} - 2t e^{-t} - 2e^{-t}]_0^{T \rightarrow \infty}$$