$$(a) \int_0^1 (-x \ln x) dx$$

$$(b) \int_0^\infty x \exp(-x^2) dx$$

$$(c) \int_0^\infty x^2 e^{-2x} dx$$

$$(d) \int_{-\infty}^{\infty} e^x \exp(-e^x) dx$$

$$(e) \int_0^1 x^2(1 - x^3)^{-1/2} dx$$

$$(f) \int_0^1 (x - 1) \sqrt{x} dx$$

$$\int_0^\pi \dots$$

$$(g) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}} dx$$

$$(h) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^{-1/3} x , dx$$

$$(i) \quad \int_0^\infty \frac{x}{1+x^4} dx$$

使用分部积分法两次。

因此

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{3x} \exp(-e^x) dx = 2$$

同样，这类积分可以直接用 MATLAB 计算。为说明这一点，我们考虑例 9.4(b) 和 (d)。对于 9.4(b)，命令

syms x y y = 1/(1 + x^2); int(y,0,inf)

返回答案

1/2*pi

而对于 9.4(d)，命令

syms x int(exp(3*x)*exp(-exp(x)),-inf,inf)

返回答案 2。

作为练习，请验证例 9.4(a) 和 (c) 的答案。

9.2.3 练习

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案。

1 计算下列反常积分：