9.3 一些定理及其在数值方法中的应用

有许多涉及积分与微分的定理，它们有助于理解为什么某些数值方法优于其他方法，并有助于设计新方法。在评估函数求值时数据误差的影响以及检验函数解析近似的精度等较为平常的任务中，这些定理也很有用。下面我们将简要地考察这些定理，并指出它们的潜在用途。推导这些结果并不容易，读者可以略过证明。然而，这些结果具有许多实际意义，应当仔细研究。

9.3.1 罗尔定理与第一中值定理

最简单的结果是如下定理

定理 9.1 罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 在定义域上连续 $[a, b]$ 且在 $(a, b)$ 上可导 $f(a) = f(b)$ 并且 $x = c$ ，那么至少存在一点 $(a, b)$ 属于 $f'(c) = 0$ 使得该点满足。定理结束

这个定理的正确性可以很容易地用几何方式说明，如图 9.2 所示，因为该定理告诉我们的是，可以在曲线上找到至少一个点 $y = f(x)$ 在两值之间 $x = a$ 和 $x = b$ 处切线平行于 $x$ 轴；也就是说，在 $x = a$ 和 $x = b$ 之间必须至少存在一个极大值或极小值。

前面我们讨论过连续函数的性质（见第 7.9.1 节）。所有连续函数都是可积的，这一事实使我们能够计算连续函数在给定区间（例如 [a, b]）上的平均值。平均值由下式给出

$$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$$

图 9.2 罗尔定理的四个例子。