显然， $f(x)$ 的平均值介于其在定义域上的最大值和最小值之间 $[a, b]$ 并且，根据介值定理（性质 (c)，第 7.9.1 节），我们可以推出在区间 $x = c$ 内存在一点 $[a, b]$ 使得（见 (8.43)）

$$f(c) = \text{mean value of } f(x) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$$

这一结果被称为积分学第一中值定理，可以表述如下。

定理 9.2 积分学第一中值定理

如果函数 $f(x)$ 在定义域上连续 $[a, b]$ 那么至少存在一点 $x = c$ ，满足 $a < c < b$ , 使得

$$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$$

定理结束

该定理在图 9.3(a) 中以几何方式作了说明。

如果 $f(x)$ 是可微函数，则

$$\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)$$

将定理 9.2 应用于 $f'(x)$ 得到

$$\int_a^b f'(x) dx = (b-a)f'(c), \quad \text{with } a < c < b$$

因此，通过令 的两个值相等 $\int_a^b f'(x) dx$ ,

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

这个结果被称为微分学的第一中值定理，可以表述如下。

图 9.3

第一中值定理：(a) $f(c_i)$ 是 的平均值； $f(x)$ ( $a \leq x \leq b$ (b) 弦 PQ 平行于 处的切线 $x = c_i$ .