定理 9.3 微分学第一中值定理

如果函数 $f(x)$ 在定义域上连续 $[a, b]$ 且在 $(a, b)$ 上可导，那么至少存在一点 $x = c$ ，满足 $a < c < b$ ，使得

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

定理结束

通常所说的第一中值定理指的就是这个定理。从几何上看，它意味着在区间上的某一点处 $[a, b]$ 的图像切线的斜率 $f(x)$ 平行于连接两端点 $x = a$ 和 $x = b$ 如图 9.3(b) 所示的图。

定理 9.3 的一个直接应用是估计自变量中的舍入误差 $x$ 对因变量计算值的影响 $y = f(x)$ 。如果 $\varepsilon_x$ 是 $x$ 的误差界，那么 $y$ 的误差界为 $\varepsilon_y$ ，其中

$$\mathcal{E}y = \max{x - \mathcal{E}_x < x^* < x + \mathcal{E}_x} |f(x^*) - f(x)|$$

对 $a = x$ , $b = x^*$ 应用第一中值定理

$$|f(x^) - f(x)| = |x^ - x| |f'(c)|$$

得到

带有 $c$ 介于 $x$ 和 $x^$ 之间。由于 $x - \varepsilon_x < x^ < c$ , $f'(c) \approx f'(x)$ ，我们有

$$\varepsilon_y \approx \max_{x-\varepsilon_x < x^* < x+\varepsilon_x} |f'(x)(x^* - x)| = |f'(x)|\varepsilon_x \quad (9.5)$$

我们通过例 9.5 来说明这一点。

例 9.5 证明

证明

$$\Delta(\sin x) \approx \cos x \Delta x$$

并由此估计 $\sin a$ 的误差界，其中 $a = 1.935$ （保留三位小数）。将所得误差区间与 [sin 1.9355, sin 1.9345] 进行比较。将 $\sin a$ 表示为具有最多小数位数的正确舍入数。

解 ∆(sin x) 的差由下式给出

$$\Delta(\sin x) = \sin(x + \Delta x) - \sin x$$

由于 $(d/dx)\sin x = \cos x$ ，应用定理 9.3 得

$$\frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{(x + \Delta x) - x} = \cos X, \quad \text{with } x < X < x + \Delta x$$

化简为

$$\Delta(\sin x) = \cos X \Delta x, \quad \text{with } x < X < x + \Delta x$$

如果 $\Delta x$ 很小，则 $x \approx X$ 且 $\cos X \approx \cos x$ ，因此

$$\Delta(\sin x) \approx \cos x \Delta x$$