设定 $x = a$ 给出 $\Delta(\sin a) \approx \cos a \Delta a$ ，因此，利用 (9.5)，得到关于 $\sin a$ 是

$$\boldsymbol{\varepsilon}_{\sin a} = |\cos a| \boldsymbol{\varepsilon}_a$$

在本例中 $a = 1.935$ 且 $\varepsilon_a = 0.0005$ ，于是

$$\varepsilon_{\text{sind}} = |\cos 1.935|(0.0005) = |-0.3562|(0.0005) = 0.00018$$

因此

$$\sin a = \sin 1.935 \pm 0.00018 = 0.93441 \pm 0.00018$$

它覆盖了区间 [0.93423, 0.93459]。

现在 $\sin 1.9355 = 0.93423$ 且 $\sin 1.9345 = 0.93459$ , 因此在本例中，误差区间的估计值与误差区间在小数点后 5 位是相同的。

于是

$$\sin a = 0.9344 \pm 0.0002$$

或

$$\sin a = 0.93$$

9.3.2 迭代格式的收敛性

前面已经讨论过用迭代法求解方程（见 7.9.3 节）。现在我们来考虑这类迭代格式的收敛性。与之前一样，假设方程的根 $x = \alpha$ 的迭代格式由下式给出 $f(x) = 0$ 其中

$$x_{n+1} = g(x_n) \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$$

。当我们使用这样的迭代时，需要一个规则来告诉我们何时停止该过程。通常的做法是，当相邻两次迭代值之差 $\alpha = g(\alpha)$ 足够小时停止迭代；也就是说，当它小于答案所需最低有效位的半个单位时停止。

这里有两个独立的问题：一个是迭代公式向根的收敛，另一个是“停止”机制。在实际计算中，停止迭代的规则非常重要，因为它极大地影响方程根的估计精度。 $|x_{n+1} - x_n|$ 收敛过程

为了考察迭代向根

的收敛性，我们估计 $\alpha$ 。当我们使用这样的迭代时，需要一个规则来告诉我们何时停止该过程。通常的做法是，当相邻两次迭代值之差 $|x_{n+1} - \alpha|$ 作为 $n \rightarrow \infty$ 。现在

$$x_{n+1} = g(x_n) \quad \text{and} \quad \alpha = g(\alpha)$$

以便

$$x_{n+1} - \alpha = g(x_n) - g(\alpha)$$

$$x_{n+1} - \alpha = (x_n - \alpha)g'(X_n)$$