其中 $X_n$ 位于区间内 $(x_n, \alpha)$ ，假设 $x_n < \alpha$ 。记 $\varepsilon_n = x_n - \alpha$ ，我们得到

$$|\mathcal{E}_{n+1}| \leq r |\mathcal{E}_n|$$

其中 $r = |g'(x)|_{\max}$ 在 $x = \alpha$ 的邻域内 $\varepsilon_n \rightarrow 0$ 。通过与几何级数比较，我们推得 $n \rightarrow \infty$ 当且仅当 $0 < r < 1$ , 并且，只要我们从靠近 $x = \alpha$ 处开始，迭代就会收敛，如果 $|g'(x)| < 1$ 靠近 $x = \alpha$ 。注意， $g(x)$ 在根附近的图像越平缓， $r$ 就越小，因此收敛就越快。我们将在下文进一步讨论这一点（见第 9.4.7 节）。

停止过程

‘停止’规则可以用类似的方法研究。该规则规定，当 $|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon$ 时迭代停止，其中 $\varepsilon$ 是可接受的最大误差。因此，我们寻求 $|x_{n+1} - \alpha|$ 与 $|x_{n+1} - x_n|$ 。

现在我们可以将 $x_{n+1} - \alpha$ 重写为

$$x_{n+1} - \alpha = (x_{n+1} - x_{n+2}) + (x_{n+2} - x_{n+3}) + (x_{n+3} - x_{n+4}) + \dots + (x_{n+k} - \alpha)$$

由于 $x_n \rightarrow \alpha$ 可写为 $n \rightarrow \infty$ ，因此可得 $x_{n+k} \rightarrow \alpha$ 可写为 $k \rightarrow \infty$ ，因为右边的所有前项都趋于零。右边的各项可以看作是该过程中对逐次迭代所做的修正。因此我们可以写成

$$x_{n+1} - \alpha = \sum_{k=1}^{\infty} (x_{n+k} - x_{n+k+1}) \quad (9.6)$$

利用第一积分中值定理 9.3，我们有

$$\begin{aligned} x_{n+1} - x_{n+2} &= g(x_n) - g(x_{n+1}) \ &= (x_n - x_{n+1})g'(X_n) \end{aligned}$$

其中 $X_n$ 位于区间内 $(x_n, x_{n+1})$ , 假设 $x_n < x_{n+1}$ 。反复应用这一结果，我们得到

$$x_{n+2} - x_{n+3} = (x_{n+1} - x_{n+2})g'(X_{n+1}) = (x_n - x_{n+1+1})g'(X_n)g'(X_{1+1})$$

从而得到

$$x_{n+k} - x_{n+k+1} = (x_n - x_{n+1})g'(X_n)g'(X_{n+1}) \dots g'(X_{n+k-1}) \quad (9.7)$$

如果，如前所述， $|g'(x)| < r < 1$ 在……的邻域内 $x = \alpha$ 那么我们由 (9.6) 得到

$$\begin{aligned} |x_{n+1} - \alpha| &\leq \sum_{k=1}^{\infty} |x_{n+k} - x_{n+k+1}| \ &\leq \sum_{k=1}^{\infty} |x_n - x_{n+1}| r^k \quad (\text{using (9.7) with } |g'(x)| < r) \ &= |x_n - x_{n+1}| \sum_{k=1}^{\infty} r^k \ &= \frac{r}{1-r} |x_n - x_{n+1}| \end{aligned}$$