利用 (7.14) 中给出的几何级数求和公式。因此

$$|x_{n+1} - \alpha| < \frac{r\epsilon}{1-r}$$

于是 $|x_{n+1} - \alpha| < \varepsilon$ 只要 $r < \frac{1}{2}$ ，并且只要满足以下条件，“停止”规则就是有效的： $|g'(x)| < \frac{1}{2}$ 在根附近 $x = \alpha$ 。在许多实际问题中，有必要估计 $r$ 通过

$$|x_{n+1} - x_n|/|x_n - x_{n-1}| = |g(x_n) - g(x_{n-1})|/|x_n - x_{n-1}|$$

显然， $r$ 的值越小，收敛越快。但请注意，这里的讨论忽略了舍入误差对计算的影响，因此上述结果仅在精确算术下成立。

例 9.6 证明 7.9.3 节中讨论的迭代

$$\theta_{n+1} = \tan^{-1}(\tanh \theta_n), \quad \text{with } \theta_0 = \frac{5}{4}\pi \approx 3.9$$

收敛于附近的根 $\theta = 3.9$ 方程的 $\tan \theta = \tanh \theta$ （见图 9.4）。

解 这里迭代函数的公式为

$$g(\theta) = \tan^{-1}(\tanh \theta)$$

其导数为

$$\begin{aligned} g'(\theta) &= \frac{1}{1 + \tanh^2 \theta} \operatorname{sech}^2 \theta \ &= \frac{1}{\cosh^2 \theta + \sinh^2 \theta} = \frac{1}{\cosh 2\theta} \end{aligned}$$

在 $\theta = 3.9$ , $\cosh 2\theta \approx 1220$ 附近，所以 $|g'(\theta)|$ 很小（实际上 $r < 0.004$ ），因此该方法收敛。

图 9.4
方程的根
$\tan \theta = \tanh \theta$ .