例 9.7 一个木制球体漂浮在水中，如图 9.5 所示。其直径为 10 cm，密度为 0.8 g cm−3。求它下沉的深度 h cm。

解 阿基米德在意识到漂浮物体的重量必须与其排开的水的重量相平衡时，喊出了“ενρηκα!”（我发现了！）。在本例中，球的重量为

$$\frac{4}{3}\pi(5)^3 \times 0.8\text{ g}$$

半径为 r 的球体中深度为 h 的球缺的体积为

$$\frac{1}{3}\pi h^2(3r - h)$$ （见例 8.66）

因此排开的水的重量为

$$\frac{1}{3}\pi h^2(15 - h) \text{ g}$$

于是根据阿基米德原理，我们有

$$\frac{4}{3}\pi \times 125 \times \frac{4}{5} = \frac{1}{3}\pi h^2(15 - h)$$

即

$$400 = h^2(15 - h)$$

作图 $y = (x - 15)x^2 + 400$ 表明在 $x = 7$ 附近有一个根。为了更精确地求出该根，我们可以构造一个迭代。例如，

$$h_{n+1} = [(h_n^3 + 400)/15]^{1/2}$$

从 $h_0 = 7.00$ 开始，我们得到下表所列的各次迭代值。

有了这组迭代值，我们很容易得出根是 7.11 或 7.12 的结论。事实上，正确答案是 7.13。这个例子说明了迭代函数导数大小的重要性。在本例中，它在根附近为 0.7，存在过程过早终止的危险。显然这在这里并不至关重要，但该例子说明了不加谨慎地使用迭代法的危险。

图 9.5 例 9.7 的浮球。