9.4 泰勒定理及相关结果 715

9.3.3 习题

2 通过绘制函数图像 $y = 1/x$ 和 $y = \tan x$ 的草图，证明方程 $x \tan x = 1$ 在 $x = 0$ 和 $x = \frac{1}{2}\pi$ 之间有一个根，并且在 $x = k\pi$ 附近有无穷多个根，其中 $k = 1, 2, 3, \dots$ 推断下面两个迭代

(a) $x_{n+1} = \cot x_n$ (b) $x_{n+1} = \tan^{-1}(1/x_n) + k\pi$ 中哪一个收敛到这些根，并用它将最小正根定位到 6 位小数。

3 若 $\alpha = f(\alpha)$ 但迭代 $x_{n+1} = f(x_n)$ 未能收敛到根 $\alpha$ ，在什么条件下迭代 $f(x)$ 才会收敛？

4 证明三次方程 $x_{n+1} = f^{-1}(x_n)$ 在 $x^3 - 2x - 1 = 0$ 附近有一个根。证明迭代 $x = 2$ 未能收敛到该根。为该方程的根设计一个简单的迭代公式，并用它求出该根，精确到 6 位小数。

5 方程

$$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n^3 - 1)$$ 在 $f(x) = 0$ 处有一个根。证明将方程改写为 $x = \alpha$ $x = x + \lambda f(x)$ , 其中 $\lambda$ 是一个常数，当 $\alpha$ 且 $\lambda = -1/f'(x_0)$ 足够接近 $x_0$ 时，产生一个收敛的迭代。

用此方法为方程 $\alpha$ 在 $x = 2$ 附近的根设计一个迭代。

6 考虑由下式定义的迭代 $x^3 - 2x - 1 = 0$ 证明

(a) 若

$$x_{n+1} = \frac{1}{3}(x_n^3 + 2)$$ 则当 $0 < x_0 < 1$ 时迭代趋于一个极限 $n \rightarrow \infty$ ;

(b) 若 $x_0 > 1$ 则迭代发散。解释这一现象。

7 考虑迭代

$$x_{n+1} = \frac{2 + 30x_n - x_n^2}{30}, \quad x_0 = 1.5$$ 以 2 位小数进行计算，求出前三个迭代值。然后继续求出接下来的六个迭代值。根据数值证据，你估计该数列的极限是多少？

假设该数列的极限在 1.5 附近，用代数方法求出其值，然后解释