导数，在定义域内某一点处取与函数及其导数相同的值。也就是说，我们寻找一个多项式 $p(x)$ 使得

$$p(a) = f(a), \quad p'(a) = f'(a), \quad p''(a) = f''(a), \dots$$

这一思想通过例 9.8 来说明。

例 9.8 求函数的一个多项式逼近 $f(x)$ 使得

$$f(0) = 3$$ , $f'(0) = 4$ , $f''(0) = -10$ 以及 $f'''(0) = 12$

解 在本例中，我们已知函数及其前三阶导数在 $x = 0$ 处的值。这意味着我们可以构造一个 3 次逼近多项式

$$p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3$$

并确定 $a$ , $b$ , $c$ 和 $d$ 的值，依据所给的信息。

令 $p(0) = f(0)$ 给出 $a = 3$ 。

求导得

$$p'(x) = b + 2cx + 3dx^2$$

并令 $p'(0) = f'(0) = 4$ ，我们有 $b = 4$ 。

再次求导得

$$p''(x) = 2c + 6dx$$

并令 $p''(0) = f''(0) = -10$ ，我们有 $c = -5$ 。

再次求导得

$$p'''(x) = 6d$$

并令 $p'''(0) = f'''(0) = 12$ ，我们有 $d = 2$ 。

因此，逼近多项式为

$$p(x) = 3 + 4x - 5x^2 + 2x^3$$

例 9.8 中使用的技术也可以应用于除 $x = 0$ 以外的点，如例 9.9 所示。

例 9.9 求一个多项式逼近 $f(x)$ ，使得

$$f(1) = 4, \quad f'(1) = 0, \quad f''(1) = 2 \quad \text{and} \quad f'''(1) = 12$$

解 由于已知信息涉及函数及其导数在点 $x = 1$ 处的值，我们寻找一个以 $x - 1$ 的幂表示的多项式。因此在这种情况下，我们寻求形如

$$p(x) = a + b(x - 1) + c(x - 1)^2 + d(x - 1)^3$$