9.4.7 再论迭代的收敛性

在本章前面我们分析了一个迭代的收敛性 $x_{n+1} = g(x_n)$ 用于求方程的根 $\alpha$ $f(x) = 0$ 。我们可以利用泰勒展开来分析这类方法的收敛速度。设 $x_n = \alpha + \varepsilon_n$ ，使得 $\varepsilon_n$ 是 $n$ 次迭代后的误差，我们有

$$\alpha + \varepsilon_{n+1} = g(\alpha + \varepsilon_n)$$

利用泰勒级数 (9.12) 将 $g(\alpha + \varepsilon_n)$ 在 $x = \alpha$ 附近展开，得到

$$g(\alpha + \varepsilon_n) = \alpha + \varepsilon_{n+1} = g(\alpha) + \frac{\varepsilon_n}{1!} g'(\alpha) + \frac{\varepsilon_n^2}{2!} g''(\alpha) + \frac{\varepsilon_n^3}{3!} g'''(\alpha) + \dots \quad (9.15)$$

由于 $\alpha$ 是方程的一个根 $f(x) = 0$ ，我们有 $\alpha = g(\alpha)$ 且 (9.15) 简化为

$$\varepsilon_{n+1} = \frac{\varepsilon_n}{1!} g'(\alpha) + \frac{\varepsilon_n^2}{2!} g''(\alpha) + \frac{\varepsilon_n^3}{3!} g'''(\alpha) + \dots \quad (9.16)$$

如果 $g'(\alpha) \neq 0$ 那么 $\varepsilon_{n+1}$ 与 $\varepsilon_n$ 成正比，于是我们得到一个一阶过程。如果 $g'(\alpha) = 0$ 且 $g''(\alpha) \neq 0$ 那么 $\varepsilon_{n+1}$ 成正比 $\varepsilon_n^2$ ，则我们有一个二阶过程，依此类推。

例 9.16

方程 $x \tan x = 4$ 有无穷多个根。为了求出靠近 $x = 1$ 的根，我们可以使用迭代

$$x_{n+1} = \tan^{-1}\left(\frac{4}{x_n}\right)$$

证明这是一个一阶过程。从 $x_0 = 1$ 开始，求出 $x_3$ 并评估其精度。

解 这里 $g(x) = \tan^{-1}(4/x)$ ，因此

$$g'(x) = \frac{-4}{x^2 + 16}$$

它对所有 $x$ , 即 $g'(\alpha) \neq 0$ 。因此该迭代是一阶过程。从 $x_0 = 1$ 开始，计算到 4 位小数，得到下表。

$$\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_n g'(\alpha) + \dots$$