回到完整的 Euler–Maclaurin 展开式 (9.18)，利用 $2n$ 宽度为 $\frac{1}{2}h$ 的条带，我们得到

$$\int_a^b f(x) dx = T\left(\frac{1}{2}h\right) + \frac{1}{4}\alpha_1 h^2 + \frac{1}{16}\alpha_2 h^4 + \frac{1}{64}\alpha_3 h^6 + \dots \quad (9.19)$$

消去 (9.18) 和 (9.19) 中的 $\alpha_1$ 项（将前者从 $4 \times$ 后者中减去，并将结果除以 3）得到

$$\int_a^b f(x) dx = \frac{1}{3}[4T(\frac{1}{2}h) - T(h)] - \frac{1}{4}\alpha_2 h^4 - \frac{5}{16}\alpha_3 h^6 - \dots$$

因此估计式 $\frac{1}{3}[4T(\frac{1}{2}h) - T(h)]$ 比单独使用 $T(\frac{1}{2}h)$ 或 $T(h)$ 都更精确。这意味着辛普森法则的截断误差正比于 $h^4$ , 这解释了为什么它是一种适合手工计算（相对于自动计算而言）的好方法。

9.4.12 习题

28 辛普森法则（第 8.10.2 节），用于数值计算积分，即

$$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{n} (f_0 + 4f_1 + 2f_2 + \dots + 2f_{n-2} + 4f_{n-1} + f_n)$$

其中 $n$ 为偶数。全局截断误差为

$$\frac{(b-a)^5}{180n^4} f^{(4)}(c), \quad \text{with } a < c < b$$

如果 $f(x) = \ln \cosh x$ 且 $a = 0$ , $b = 0.5$ ，证明 $|f^{(4)}(x)| < 2$ 对于 $0 \leq x \leq 0.5$ ，并由此推出全局截断误差将小于 $1/(2880n^4)$ 。

如果 $f(x)$ 制表至 4 位小数，证明使用该公式累积的舍入误差小于 1/40000，并求出 $n$ 使得使用该公式时，积分 $\int_0^{0.5} \ln \cosh x , dx$ 能被正确计算到 4 位小数。

• 29 使用梯形法则（第 8.10.1 节），取 $h = 0.25$ 来计算 $\int_0^1 \sqrt{x} , dx$ 。将你的答案与精确值进行比较， $\frac{2}{3}$ .

• (c) 考察两种情况下的全局截断误差，并得出一些一般性结论。

30 对于 $\int_0^1 e^{x^2} dx$ 取 $h = 0.25$ 时，梯形法则的估计值为 1.49068（精确到 5 位小数）。估计该近似中全局截断误差的大小，并证明

$$1.40 \leq \int_0^1 e^{x^2} dx < 1.48$$

求 $h$ 将给出一个精确到小数点后 4 位的答案吗？

31 证明步长为的复合梯形公式 $h$ 给出近似值

$$\int_0^1 e^x , dx \approx \frac{1}{2}h(e-1)\coth\left(\frac{h}{2}\right)$$

代入的级数展开式 $\coth x$

$$\coth x = \frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{45}x^4 + \frac{2}{945}x^6 - \dots \right)$$

得到近似值

$$\int_0^1 e^x , dx \approx (e-1)(1 + \frac{1}{12}h^2 - \frac{1}{720}h^4 + \dots)$$

将此答案与 Euler–Maclaurin 定理进行比较。