分别为，其中 $\alpha$ 是 $P'Q'$ 与 $x$ 正方向所成的角。直线 $PQ$ 的斜率为

$$\frac{f(x + l \cos \alpha, y + l \sin \alpha) - f(x, y)}{l}$$

，而曲面在 P 点沿 $\overline{PQ}$ 方向的斜率是当 $l \rightarrow 0$ 时该商的极限。将此斜率记为 $m_a(x, y)$ ，我们有

$$m_\alpha(x, y) = \lim_{l \rightarrow 0} \frac{f(x + l \cos \alpha, y + l \sin \alpha) - f(x, y)}{l}$$

这里下标 $\alpha$ 表示测量斜率所相对的方向，而 $(x, y)$ 表示求值所在的点。本质上，我们通过固定允许 $x$ 和 $y$ 变化的方向，将二元函数的问题简化为一元函数的问题。如果每次想要计算函数的变化率或斜率时都必须这样进行计算，那将非常笨拙。为了简化这一过程，我们将展示如何用两个标准斜率来表示斜率 $m_a$ ：一个沿 $x$ 方向，另一个沿 $y$ 方向。

为此，我们将商的分子重新整理为若干项之和，一项表示由 $f(x, y)$ 的变化 $l \cos \alpha$ 引起的 $x$ 的变化，另一项表示 $f(x, y)$ 由于该变化 $l \sin \alpha$ 在 $y$ 中。因此

$$f(x + l \cos \alpha, y + l \sin \alpha) - f(x, y) = [f(x + l \cos \alpha, y + l \sin \alpha) - f(x, y + l \sin \alpha)] \ + [f(x, y + l \sin \alpha) - f(x, y)]$$

$$\begin{aligned} \text{and } m_\alpha(x, y) &= \lim_{l \rightarrow 0} \frac{f(x + l \cos \alpha, y + l \sin \alpha) - f(x, y + l \sin \alpha)}{l \cos \alpha} \cos \alpha \ &\quad + \lim_{l \rightarrow 0} \frac{f(x, y + l \sin \alpha) - f(x, y)}{l \sin \alpha} \sin \alpha \ &= p(x, y) \cos \alpha + q(x, y) \sin \alpha \end{aligned}$$

其中 $p(x, y)$ 和 $q(x, y)$ 是相应极限的值

$$p(x, y) = \lim_{l \rightarrow 0} \frac{f(x + l \cos \alpha, y + l \sin \alpha) - f(x, y + l \sin \alpha)}{l \cos \alpha}$$

$$q(x, y) = \lim_{l \rightarrow 0} \frac{f(x, y + l \sin \alpha) - f(x, y)}{l \sin \alpha}$$

图 9.15
方向导数。