考察 $p(x, y)$ 的分子，我们看到两项中的“y 值”相同，即 $y + l \sin \alpha$ ，同时 $l \sin \alpha \rightarrow 0$ 当 $l \rightarrow 0$ 时成立。相比之下，两项中的“x 值”相差 $l \cos \alpha$ 。将其记为 $\Delta x$ ，我们可以写成

$$p(x, y) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} = \frac{f(x + \Delta x, y + \Delta x \tan \alpha) - f(x, y + \Delta x \tan \alpha)}{\Delta x}$$

化简后得到

$$p(x, y) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} = \frac{\partial f}{\partial x} \quad (9.22)$$

同理，

$$q(x, y) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} = \frac{\partial f}{\partial y} \quad (9.23)$$

然后我们可以写出沿某一角度方向的斜率 $\alpha$ 到 $x$ 轴成

$$m_\alpha(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \alpha \quad (9.24)$$

例 9.27

求 $f(x, y) = x^2y^3 + 3y + x$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，以及函数在与 $\alpha$ 成角度的方向上的斜率 $x$ 。

解

求 $f(x, y)$ 关于 $x$ , 我们求导 $f(x, y)$ 关于 $x$ ，保持 $y$ 不变。因此

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3 + 1$$

类似地，我们通过对 $y$ 求关于 $f(x, y)$ 的导数，得到偏导数 $y$ ，保持 $x$ 不变。因此

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2y^2 + 3$$

该曲面斜率的一般表达式 $z = f(x, y)$ 在成角度的方向上 $\alpha$ 到 $x$ 轴为

$$m_\alpha(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \alpha$$

所以对于这个函数我们有

$$m_a(x, y) = (2xy^3 + 1) \cos \alpha + (3x^2y^2 + 3) \sin \alpha$$

由于在计算 $\partial f / \partial x$ 时我们只考虑 $f(x, y)$ 在 $x$ 方向上的变化， $\partial f / \partial x$ 给出了曲面 $z = f(x, y)$ 在该点处的斜率 $(x, y)$ 在 $x$ 方向（ $\alpha = 0$ （见 (9.24)））。类似地， $\partial f / \partial y$ 给出在 $y$ 方向的斜率（ $\alpha = \frac{1}{2}\pi$ （见 (9.24)））。这在图 9.16 中进行了说明。