因此，如果我们已知 $\partial f / \partial x$ 和 $\partial f / \partial y$ ，就可以利用 (9.24) 计算函数在任意给定方向上的斜率 $m_a(x, y)$ 。这被称为 $f(x, y)$ 的方向导数，可以看作是向量 $(\partial f / \partial x, \partial f / \partial y)$ 在由单位向量 $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 所表示的方向上的投影，因此 $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 是所求导数方向上的单位向量。于是我们可以将 $m_a(x, y)$ 表示为标量积

$$m_\alpha(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \cdot (\cos \alpha, \sin \alpha)$$

9.6.4 练习

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案。

(a)

(b)

图 9.16 偏导数的几何示意图 (a) $\frac{\partial f}{\partial x} = \tan \alpha$ 和 (b) $\frac{\partial f}{\partial y} = \tan \beta$ 。

37 用第一性原理求函数 $\partial f/\partial x$ 和 $\partial f/\partial y$ 在点 $f(x, y)$ 处的偏导数，其中 $(1, 2)$ 38 用第一性原理求偏导数

$$f(x, y) = 2x^2 - xy + y^2$$

和 $\partial f / \partial x$ $\partial f / \partial y$ 该函数的 $f(x, y)$ 在一般点 $(x, y)$ 其中

$$f(x, y) = x \cos y$$

• 39 求 $\partial f/\partial x$ 和 $\partial f/\partial y$ 当 $f(x, y)$ 是

• 40 求 $\partial f / \partial x$ 和 $\partial f / \partial y$ 当 $f(x, y)$ 是

• 41 求 $\partial_z/\partial x$ 和 $\partial_z/\partial y$ 当 $z(x, y)$ 满足

42 证明 $z = x^2y^2/(x^2 + y^2)$ 满足微分方程

$$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 2z$$

• 43 求 $f_x, f_y$ 和 $f_z$ 当 $f(x, y, z)$ 是

44 证明 $f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2}$ 满足