45 证明

$$f(x, y, z) = x + \frac{x - y}{y - z}$$

满足

$$f_x + f_y + f_z = 1$$

46 求 $f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 3x + 2y$ 在点 $(x, y)$ 处沿与正 $\alpha$ 方向成角 $x$ 的方向上的方向导数。当 $(2, -1)$ 时，在 $\alpha = \frac{1}{6}\pi$ 处的方向导数值是多少？ $\alpha$ 取何值时在 $(2, -1)$ ?

的等值线由 $f(x, y)$ 经过 $(2, -1)$ 给出，即 $f(x, y) = f(2, -1)$ 。这定义了曲线上 $x$ 与 $y$ 之间的关系。证明等值线在 $(2, -1)$ 处的切线垂直于该点梯度最大的方向，并平行于梯度为零的方向。

9.6.5 链式法则

正如例 9.24–9.26 所示，普通微分的法则和结果可以推广到偏微分。特别地，复合函数法则仍然成立，但形式有所改变。考虑二元情形，其中 $z = f(x, y)$ 和 $x$ 且 $y$ 本身是两个自变量的函数， $s$ 和 $t$ 。那么 $z$ 本身也是 $s$ 的函数 $t$ 和 $F(s, t)$ ，设为 $z$ ，我们可以用复合函数求导法则求出它的导数，该法则用 $s$ 关于 $t$ 和 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 以及 的变化率 $x$ 和 $y$ 关于 $s$ 和 $t$ 。因此

$$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} \quad \text{and} \quad \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \quad (9.25)$$

或者，写成向量–矩阵形式，

$$\begin{bmatrix} \frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y} \ \frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{bmatrix}$$

这个结果通常称为链式法则。证明很简单。考虑 $\partial_Z/\partial_s$ ，由下式给出

$$\frac{\partial z}{\partial s} = \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{F(s + \Delta s, t) - F(s, t)}{\Delta s}$$

该点 $(s + \Delta s, t)$ 在 $s$ - $t$ 平面中将对应于该点 $(x + \Delta x, y + \Delta y)$ 在 $x$ - $y$ 平面中，而 $(s, t)$ 对应于 $(x, y)$ 。因此

$$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial s} &= \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta s} \ &= \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)}{\Delta x} \frac{\Delta x}{\Delta s} \ &\quad + \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \frac{\Delta y}{\Delta s} \ &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}\end{aligned}$$