当然，x 和 y 也可能只是一个变量的函数，或者是三个或更多变量的函数。在所有这些情况下，只要所涉及的函数可微，链式法则仍然适用。

例 9.28 求 $\partial T/\partial r$ 和 $\partial T/\partial \theta$ 当

$$T(x, y) = x^3 - xy + y^3$$

和

$$x = r \cos \theta$$ 和 $y = r \sin \theta$

解 根据链式法则 (9.25)，

$$\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial T}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}$$

在本例中

$$\frac{\partial T}{\partial x} = 3x^2 - y \quad \text{and} \quad \frac{\partial T}{\partial y} = -x + 3y^2$$

和

$$\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta \quad \text{and} \quad \frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta$$

因此

$$\frac{\partial T}{\partial r} = (3x^2 - y) \cos \theta + (-x + 3y^2) \sin \theta$$

代入 $x$ 和 $y$ 关于……（in terms of of） $r$ 和 $\theta$ 给出

$$\frac{\partial T}{\partial r} = 3r^2(\cos^3\theta + \sin^3\theta) - 2r\cos\theta\sin\theta$$

类似地，

$$\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial \theta} &= (3x^2 - y)(-r\sin\theta) + (-x + 3y^2)r\cos\theta \ &= 3r^3(\sin\theta - \cos\theta)\cos\theta\sin\theta + r^2(\sin^2\theta - \cos^2\theta) \end{aligned}$$

例 9.29 当……时求 dH/dt

$$H(t) = \sin(3x - y)$$

$$x = 2t^2 - 3 \quad \text{and} \quad y = \frac{1}{2}t^2 - 5t + 1$$