解 我们注意到 x 和 y 仅是 t 的函数，因此链式法则（9.25）变为

$$\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial H}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$

注意偏导数与常导数的混合使用。H 是单个变量 t 的函数，但其依赖关系通过两个变量 x 和 y 来表达。

代入所涉及的导数，我们得到

$$\begin{aligned}\frac{dH}{dt} &= 3[\cos(3x - y)]4t - [\cos(3x - y)](t - 5) \ &= (11t + 5)\cos(3x - y) \ &= (11t + 5)\cos(\frac{11}{2}t^2 + 5t - 10)\end{aligned}$$

例 9.30 一个直圆锥的底面半径 $r$ 厘米以 $2 \text{ cm s}^{-1}$ 的速度增加，其高 $h$ 厘米以 $3 \text{ cm s}^{-1}$ 的速度增加。求当 $r = 5$ 且 $h = 15$ 时其体积的增长率。

解 底面半径为 r、高为 h 的圆锥的体积 V 为

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

我们希望在给定 dr/dt 和 dh/dt 的情况下求 dV/dt。应用链式法则（9.25）得

$$\frac{dV}{dt} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{dr}{dt} + \frac{\partial V}{\partial h} \frac{dh}{dt}$$

现在

$$\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2}{3}\pi r h, \quad \frac{\partial V}{\partial h} = \frac{1}{3}\pi r^2, \quad \frac{dr}{dt} = 2, \quad \frac{dh}{dt} = 3$$

以便

$$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi rh + \pi r^2$$

当 $r = 5$ cm 且 $h = 15$ cm 时，体积的增长率为

$$\begin{aligned}\frac{dV}{dt} &= (\frac{4}{3}\pi \times 5 \times 15 + \pi \times 5^2) \text{ cm}^3 \text{ s}^{-1} \ &= 125 \pi \text{ cm}^3 \text{ s}^{-1}\end{aligned}$$