例 9.31 求 ^d

d z t，当

(a) $$z = e^{-x} \cos y$$ ，其中 $x = 2t + t^2$ 和 $y = 4t$

(b) $$z = x^3 + t^2$$ 和 $x^2 + 2t^2 + 3xt = 0$ 。

解 (a)

$$\begin{aligned} (a) \quad \frac{dz}{dt} &= \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt} \ &= -e^{-x} \cos y(2 + 2t) - e^{-x} \sin y(4) \ &= -2e^{-x}[(1 + t) \cos y + 2 \sin y] \ &= -2e^{-2t-t^2} [(1 + t) \cos 4t + 2 \sin 4t] \end{aligned}$$

上式的最后一步是否合适，取决于求导时所在的具体应用背景。

$$(b) \quad \frac{dz}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt} + 2t$$

并隐函数求导可得

$$2x\frac{dx}{dt} + 4t + 3\frac{dx}{dt} + 3x = 0$$

$$\text{so that } \frac{dx}{dt} = -\frac{4t + 3x}{3t + 2x}$$

$$\text{Hence } \frac{dz}{dt} = -\frac{3x^2(4t + 3x)}{3t + 2x} + 2t$$

$$= \frac{6t^2 + 4xt - 12x^2t - 9x^3}{3t + 2x}$$

链式法则在 MATLAB 中可以轻松处理。以例 9.28 为例，在 MATLAB 中可以按如下方式求解：

命令

syms x y r theta

$$T = x^3 - x^*y + y^3; \quad Tx = \text{diff}(T, x); \quad Ty = \text{diff}(T, y);$$

$$x = r^\cos(\theta teta); \quad y = r^\sin(\theta teta);$$

xr = diff(x,r), xtheta = diff(x,theta); yr = diff(y,r);

ytheta = diff(y,theta);

$$Tr = Tx^*xr + Ty^*yr$$