多元函数的微分通常称为全微分，强调它表示函数相对于所有自变量的微小变化的变化情况。

例 9.35 求下列函数的全微分 $u(x, y) = x^2y^3$ .

解 求偏导数得

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^3 \quad \text{and} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 3x^2y^2$$

因此，利用 (9.29)

$$du = 2xy^3dx + 3x^2y^2dy$$

所有物理测量都存在误差，而计算量通常取决于多个测量值。了解已计算出的量所能依赖的精确程度是非常重要的。全微分可用于估计由实验结果或含有误差的数据计算出的量的误差范围。这将在例 9.36 中加以说明。

例 9.36 半径为 $V \text{ cm}^3$ 、高为 $r \text{ cm}$ 的圆柱体的体积 $h \text{ cm}$ 由下式给出 $V = \pi r^2 h$ 。若 $r = 3 \pm 0.01$ 且 $h = 5 \pm 0.005$ 求计算所得的 $V$ 并将其与用全微分得到的估计值进行比较。

解 全微分为

$$dV = = \frac{\partial V}{\partial r} dr + \frac{\partial V}{\partial h} dh = 2\pi r h dr + \pi r^2 dh$$

于是由 (9.30)

$$\Delta V \approx dV = 2\pi rh dr + \pi r^2 dh = \pi r(2h \Delta r + r \Delta h)$$

当 $r = 3$ 且 $h = 5$ 时，已知 $\Delta r = \pm 0.01$ 且 $\Delta h = \pm 0.005$ ，因此

$$\Delta V \approx \pm 3\pi(10 \times 0.01 + 3 \times 0.005)$$

得到

$$\Delta V \approx \pm 0.345 \pi$$

（应当注意 $\Delta r$ , $\Delta h$ , $\Delta V$ 表示最大误差。）计算所得的体积 $V$ 的最大正误差为

$${(3.01)^2(5.005) - 45}\pi = 0.3458\pi$$

的最大负误差为

$${(2.99)^2(4.995) - 45}\pi = -0.3442\pi$$