68 函数 $z$ 定义为

$$z(x, y) = x^2y - 3y$$

求 $\Delta z$ 和 $dz$ 当 $x = 4$ , $y = 3$ , $\Delta x = -0.01$ 和 $\Delta y = 0.02$ 。

69 一个开口盒子的内部尺寸为 $2\text{ m} \times 1.25\text{ m} \times 0.75\text{ m}$ 。它由 4 mm 厚的金属板制成。

求实际所用金属的体积，并将其与用盒子容积的微分求得的近似体积进行比较。

70 从位于通过塔底的一条水平线上距离塔 $30^\circ \pm 0.5^\circ$ m 的一点测得塔顶的仰角为 $300 \pm 0.1$ 。估算塔的高度。

例 9.37 两个变量， $x$ 和 $y$ 之间满足关系 $y = ae^{-bx}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。 $a$ 和 $b$ 的值由实验数据确定，其相对误差界分别为 $p$ 和 $q$ 。用这些 $y$ 和 $a$ 和 $b$ ？

解答 注意在本例中假定 $x$ 的值是精确已知的。我们已知 $y = ae^{-bx}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是带有误差的近似值 $\Delta a$ 和 $\Delta b$ ，这些误差未知但满足

$$\left| \frac{\Delta a}{a} \right| \leq p \quad \text{and} \quad \left| \frac{\Delta b}{b} \right| \leq q$$

全微分公式给出

$$dy = \frac{\partial y}{\partial a} da + \frac{\partial y}{\partial b} db$$

对于自变量 $a$ 且 $b$ 增量和微分是同一个量，因此 $da = \Delta a$ 且 $db = \Delta b$ 。另外，根据所给公式 $y$ ，我们有

$$\frac{\partial y}{\partial a} = e^{-bx} \quad \text{and} \quad \frac{\partial y}{\partial b} = -xae^{-bx}$$

因此，由 (9.28) 可得

$$dy = e^{-bx} \Delta a - x a e^{-bx} \Delta b$$

两边除以 y 得

$$\frac{dy}{y} = \frac{\Delta a}{a} - bx \frac{\Delta b}{b}$$

于是

$$\left| \frac{dy}{y} \right| \leq \left| \frac{\Delta a}{a} \right| + |bx| \left| \frac{\Delta b}{b} \right| \leq p + |bx|q$$

由于 $\Delta y \approx dy$ ，我们得到关于相对误差界的估计 $y$ 如 $p + |bx|q$ .

9.6.10 练习