71 这些方程

$$x + 2y + 3z + 4u = -3$$

$$x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 10$$

$$x^3 + y^3 + z^3 + u^3 = 0$$

定义 $u$ 为……的函数 $y$ 如果 $x$ 和 $z$ 被消去。求 $du/dy$ 当 $x = 1$ , $y = -1$ , $z = 2$ , $u = -2$ 。

72 活塞的加速度 $f$ 由下式给出

$$f = r\omega^2 \left( \cos \theta + \frac{r}{L} \cos 2\theta \right)$$

当 $\theta = \frac{1}{6}\pi$ 弧度，且当 $rL = \frac{1}{2}$ 时，计算所得的 $f$ 值的近似百分比误差， $r$ 若 $\omega$ 和

$$S = \frac{1}{2}bc \sin A$$

的值均偏小 1%。

73 三角形 ABC 的面积用公式 $b$ , $c$ 计算，已知 $A$ 和 $A$ 的测量误差在 1% 以内。若角 $\theta$ 的测量

值为 45°，证明所计算的 S 值的百分比误差不超过约 2.8%。

74 阴极射线管中电子束在磁场作用下的角偏转由下式给出

$$\theta = K \frac{HL}{V^{1/2}}$$

其中 $H$ 是磁场强度， $L$ 是电子路径长度， $V$ 是加速电压， $K$ 是一个常数。如果每个测量值 $\pm 0.2%$ 和 $H$ , $L$ 中存在高达 $V$ 的误差，那么计算得到的 $\theta$ 值的最大可能百分比误差是多少（假设 $K$ 是准确已知的）？

75 在一个煤炭加工厂中，流量 $V$ 沿管道的流量由下式给出

$$V = \frac{\pi p r^4}{8\eta l}$$

若 $r$ 和 $l$ 均增加 5%，且 $p$ 和 $\eta$ 分别减少 10% 和 30%，求 $V$ .

的近似百分比变化

$$P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$$

9.6.11 恰当微分

在对实际问题建模时，微分有时会自然出现。流体力学中的一个例子将在后面给出（见 9.9 节）。当这种情况发生时，通常可以通过检验微分所在的表达式是否为全微分，来进一步分析该问题。考虑方程 $x$ , $y$ 连接 $f(x, y)$ 及其微分。如果存在函数

$$df = P(x, y)dx + Q(x, y)dy$$

现在我们知道

$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$$

所以如果 $f(x, y)$ 存在，则

$$P(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} \quad \text{and} \quad Q(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}$$

对于具有连续二阶导数的函数，我们有

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$