用微分来表述，这意味着

$$df = 0 \quad \text{at } (a, b)$$

发生这种情况的点称为函数的驻点，函数在这些点上的值称为其驻点值。当该条件满足时，我们有

$$\Delta f = \frac{1}{2!} \left( h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)_{(a,b)} + \dots$$

代入

$$R = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad S = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \quad \text{and} \quad T = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$

我们推出， $\Delta f$ 的符号取决于二阶微分

$$d^2 f = Rh^2 + 2Shk + Tk^2$$

的符号。整理后，我们得到，只要 $R \neq 0$ ,

$$d^2 f = \frac{1}{R} (R^2 h^2 + 2RShk + RTk^2) = \frac{1}{R} [(Rh + Sk)^2 + (RT - S^2)k^2]$$

如果 $RT - S^2 > 0$ ，则 $d^2 f$ 的符号与 $h$ 的值无关，且 $k$ , 而 $RT - S^2 < 0$ ，其符号取决于这些值。因此，在 $(a, b)$ 处取得最大值或最小值的第二个必要条件是

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2 = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 \geq 0 \quad \text{at } (a, b)$$

注意， $f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix}$ 。如果严格不等式成立，则 $\Delta f$ 的符号取决于 $R = \partial^2 f / \partial x^2$ 。如果 $\partial^2 f / \partial x^2 > 0$ ，则在 $(a, b)$ 处取得最小值。如果 $\partial^2 f / \partial x^2 < 0$ ，则在 $(a, b)$ 。

通过将 $d^2 f$ 表示为

$$d^2 f = \frac{1}{T} [(TK + Sh)^2 + (RT - S^2)h^2], \quad T \neq 0$$

我们同样可以推出在 $(a, b)$ 处存在极小值，若 $\partial^2 f / \partial y^2 > 0$ ，以及在 $(a, b)$ 处存在极大值，若 $\partial^2 f / \partial y^2 < 0$ ，假设上述严格不等式成立。

若

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2 < 0 \quad \text{at } (a, b)$$

，则 $\Delta f$ 的符号取决于 $h$ 和的值 $k$ , 并且沿着穿过它的某些路径， $(a, b)$ 该函数取得最大值，而沿其他路径它取得最小值。这样的点称为鞍点，如图 9.18(c) 所示。