表示 $\phi$ 由 $F$ 此例可在 MATLAB 中按如下方式求解：

syms x y z lam
F = x*y*z + lam*(x*y + 2*x*z + 2*y*z - 12);
Fx = diff(F,x) returning Fx = y*z + lam*(y + 2*z)
Fy = diff(F,y) returning Fy = x*z + lam*(x + 2*z)
Fz = diff(F,z) returning Fz = x*y + lam*(2*x + 2*y)
[lam,x,y,z] == solve(x*y + 2*x*z + 2*y*z == 12,
    y*z + lam*(y + 2*z) == 0, x*z + lam*(x + 2*z) == 0,
    x*y + lam*(2*x + 2*y) == 0)

返回

lam = -1/2      x = 2      y = 2      z = 1
                    1/2            -2                     -1

由于 $x$ , $y$ 和 $z$ 表示尺寸，它们必须为正数，因此所需的尺寸为 $2m \times 2m \times 1m$ 。（注意，使用 solve 命令时，解数组中的变量按字母顺序给出。）

例 9.44

应用拉格朗日乘数法求解第 2.10 节中的设计问题。

解

这里目标函数 $A(l, b, h, t)$ 受约束函数的限制 $C(l, b, h)$ 其中

$$A(l, b, h, t) = (lb + 6bh + 2hl)t + (2l + 6b + 12h)t^2 + 12t^3$$

和 $C(l, b, h) = lhb = K$

和 $t$ 和 $K$ 为常数。

辅助函数为

$$\phi(l, b, h, \lambda) = A(l, b, h, t) + \lambda[C(l, b, h) - K]$$

我们求 $A$ 的条件极值，其由下式给出

$$\frac{\partial \phi}{\partial l} = 0, \quad \frac{\partial \phi}{\partial b} = 0, \quad \frac{\partial \phi}{\partial h} = 0 \quad \text{and} \quad C(l, b, h) = K$$

因此

$$(b + 2h)t + 2t^2 + \lambda hb = 0 \tag{9.53}$$

$$(l + 6h)t + 6t^2 + \lambda lh = 0 \tag{9.54}$$

$$(6b + 2l)t + 12t^2 + \lambda lb = 0 \tag{9.55}$$

$$(l - 3b)t + \lambda(l - 3b)h = 0$$