9.7.5 Exercises | Modern Engineering Mathematics

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88 求 $x^2 - 2y^2 + 2xy + 4x$ 在约束条件 $2x = y$ 下的极值，并验证它是极大值。	91 球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 上哪一点距离坐标为 $(1, 2, 2)$ ?
89 的点最远？ $3x^2 + 2y^2 + 6z^2$ 求 $x + y + z = 1$ 在约束条件	92 下的极值，并验证它是极小值。 $f(x, y) = 4x + y + y^2$ 其中 $(x, y)$ 位于圆上 $x^2 + y^2 + 2x + y = 1$ .
90 方程 $5x^2 + 6xy + 5y^2 - 8 = 0$ 表示一个中心在原点的椭圆。通过考虑 $x^2 + y^2$ 的极值，求其半轴长。	93 求 $2x + y + 2z + x^2 - 3z^2$ 在以下两个约束条件 $x + y + z = 1$ 和 $2x - y + z = 2$ .

下的驻值，这意味着 $l = 3b$ . 式 (9.55) − 6 × (9.53) 给出

$$(2l - 12h)t + \lambda(l - 6h)b = 0$$

这意味着 $l = 6h$ 。

因此 $b = 2h$ , $l = 6h$ 其中 $lbh = K$ 。于是 $12h^3 = K$ 且 $h = (K/12)^{1/3}$ 与之前相同。

上面概述的拉格朗日乘数法可以推广到任意多个变量的函数。它也自然地推广到存在多个约束方程的情形，只需引入相应数量的拉格朗日乘数即可。一般地，若 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 是关于 $n$ 个变量的函数，且受 $m$ ( $< n$ ) 个约束

$$g_i(x_1, \dots, x_n) = 0 \quad (i = 1, 2, \dots, m)$$

然后，为了确定 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 的约束驻点值，步骤是构造辅助函数

$$\phi(x_1, x_2, \dots, x_n) = f(x_1, x_2, \dots, x_n) + \lambda_1 g_1 + \dots + \lambda_m g_m$$

并求解由此得到的 $m + n$ 个方程

$$\frac{\partial \phi}{\partial x_j} = \frac{\partial f}{\partial x_j} + \sum_{i=1}^m \lambda_i \frac{\partial g_i}{\partial x_j} = 0 \quad (j = 1, 2, \dots, n)$$

$$\frac{\partial \phi}{\partial \lambda_i} = g_i = 0 \quad (i = 1, 2, \dots, m)$$

通常，这种求解方法所涉及的代数方程难以用代数方法求解，因此需要使用数值方法。这些方法在配套教材《现代高等工程数学》（Advanced Modern Engineering Mathematics）中有详细介绍。

9.7.5 习题

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