9.8 工程应用：一端固定柱的挠度

在本节中，我们考虑一个例子，其中可以利用前面（9.4 节）发展的技巧来求解一个工程问题。

一根柱子在自重作用下屈曲时的挠度 y(x) 满足微分方程

$$EI \frac{d^3y}{dx^3} + wx \frac{dy}{dx} = 0 \quad (9.56)$$

其中 E 是杨氏模量，I 是横截面的二阶面积矩，w 是柱子单位长度的重量。图 9.23 所示的一端固定柱的挠度还满足条件

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 0 \quad \text{at } x = 0$$

以及

$$y = 0 \quad \text{and} \quad \frac{dy}{dx} = 0 \quad \text{at } x = l$$

其中 l 是柱子的长度。我们需要求出柱子在倒塌之前所能达到的最大高度。

为了使代数运算更容易，我们首先简化微分方程。令 $x = ct$ 得到

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{c} \frac{dy}{dt} \right) \frac{dt}{dx} = \frac{1}{c^2} \frac{d^2 y}{dt^2}$$

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{\text{dy}}{\text{dt}} \frac{\text{dt}}{\text{dx}} = \frac{1}{c} \frac{\text{dy}}{\text{dt}}$$

以及

$$\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{c^2} \frac{d^2y}{dt^2} \right) \frac{dt}{dx} = \frac{1}{c^3} \frac{d^3y}{dt^3}$$

将其代入 (9.56) 后，方程变换为

$$\frac{EI}{c^3} \frac{d^3 y}{dt^3} + wt \frac{dy}{dt} = 0$$

于是选取 $c^3 = EI/w$ 并设 $f(t) = dy/dt$ 进一步将方程简化为

$$\frac{d^2 f}{dt^2} + tf = 0 \quad (9.57)$$

图 9.23 柱的挠曲。