在满足条件的情况下

$$\frac{df}{dt} = 0 \quad \text{at } t = 0 \quad \text{and} \quad f(t) = 0 \quad \text{at } t = l(EI/w)^{-1/3} = T$$

假设 $f(t)$ 具有麦克劳林级数展开，我们可以将其写为

$$f(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 + \dots + a_nt^n + \dots$$

对其求导，我们得到

$$f'(t) = a_1 + 2a_2t + 3a_3t^2 + \dots + na_nt^{n-1} + (n+1)a_{n+1}t^n + \dots$$

以及

$$f''(t) = 2a_2 + 6a_3t + 12a_4t^2 + \dots + n(n-1)a_nt^{n-2} + \dots$$

由于 $f'(0) = 0$ ，我们立即推出 $a_1 = 0$ 。由于 $f(t)$ 满足微分方程 (9.57)，代入后我们推出

$$\begin{aligned} & 2a_2 + 6a_3t + 12a_4t^2 + \dots + n(n-1)a_nt^{n-2} + \dots \ & = -a_0t - a_1t^2 - a_2t^3 - \dots - a_nt^{n+1} - \dots \end{aligned}$$

该表达式对所有 $t$ , 其中 $0 < t < T$ ，因此我们根据 2.4.1 节中给出的多项式性质 (i) 推出，方程两边每个幂次的系数相等。也就是说， $t$ （

$$2a_2 = 0$$ 的系数） $t^0$ )

$$6a_3 = -a_0 \quad (\text{coefficient of } t^1)$$

$$12a_4 = -a_1 \quad (\text{coefficient of } t^2)$$

等等。一般地， $t^r$ 的系数（通过在左边令 $n - 2 = r$ 、在右边令 $n + 1 = r$ 得到）为

$$(r + 2)(r + 1)a_{r+2} = -a_{r-1}$$

这个递推关系使我们能够用 $a_{r+3}$ 来表示并计算 $a_r$ 如

$$a_{r+3} = \frac{-a_r}{(r+3)(r+2)} \quad (r = 0, 1, 2, \dots) \quad (9.58)$$

因此

$$a_7 = \frac{-a_4}{7 \cdot 6} \quad (r = 4), \quad a_8 = \frac{-a_5}{8 \cdot 7} \quad (r = 5)$$

$$a_5 = \frac{-a_2}{5 \cdot 4} \quad (r = 2), \quad a_6 = \frac{-a_3}{6 \cdot 5} \quad (r = 3)$$

$$a_3 = \frac{-a_0}{3 \cdot 2} \quad (r = 0), \quad a_4 = \frac{-a_1}{4 \cdot 3} \quad (r = 1)$$

等等。

由于我们之前利用条件 $f'(0) = 0$ 推得 $a_1 = 0$ ，某些项可以立即消去，于是我们得到

$$a_4 = 0, \quad a_7 = 0, \quad a_{10} = 0, \quad a_{13} = 0, \quad \dots$$